专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性-2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

第二篇 函数、导数及其应用 专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性 【考纲要求】 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 【命题趋势】 1. 对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般． 2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大. 【核心素养】 本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 周期函数定义的实质： 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【素养清单•常用结论】 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 【真题体验】 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（ ） A． B． C． D． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（ ） A． B.C． D． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ） A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 4.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为（ ） 5.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为（ ） 6.【2018年高考浙江】函数y=sin2x的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 8．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Local Settings\\Temp\\ksohtml592\\wps59.png" \* MERGEFORMAT （ ） A． B．0 C．2 D．50 【考法拓展•题型解码】 考法一　函数奇偶性的判断 解题技巧：判断函数奇偶性的方法 (1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的