专题3.3 单调性分类讨论（第三课时）-备战2020年高考数学考向点滴击破（文理通用）

3.3 单调性的分类讨论（第三课时） 【例1】（2019·福建）已知函数。 （I）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （II）若函数有两个极值点且，求证 【例2】设函数f(x)＝x2＋ax－lnx. (1)若a＝1，试求函数f(x)的单调区间； (2)令，若函数g(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． 【举一反三】 1．已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； 2.已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1． （1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 1．已知函数f(x)＝(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若∀x∈[1，＋∞)，不等式f(x)>－1恒成立，求实数a的取值范围． 2．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：当时，函数的图像恒在函数的图像上方. 3. 已知函数f(x)＝xln x－ex＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：f(x)<sin x在(0，＋∞)上恒成立． 4．已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围． 5．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a>0时，求证：f(x)≥. 6．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． (2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立． 7．(2018·开封高三定位考试)已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)． (1)求函数f(x)的极小值； (2)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围． 8．已知函数． (1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 9．（2019·吉林期末（理））已知函数. （1）若，求的零点个数； （2）若，，证明：，. 10．设函数f(x)＝x2＋ax－lnx. (1)若a＝1，试求函数f(x)的单调区间； (2)令，若函数g(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 $$ 3.3 单调性的分类讨论（第三课时） 【例1】（2019·福建）已知函数。 （I）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （II）若函数有两个极值点且，求证 【答案】（I）（Ⅱ）见证明 【解析】（I）由题意，函数，则， 又函数在区间上是单调递增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，故在上恒成立， 设，，则 故实数的取值范围为； （II）易知， 依题意可知在内有两根，且， 设，则有， 又， 由根与系数关系有， 故， 令， 则有，， 又，，故存在唯一，使得 易知当时有，当时有， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，故对，均有， 故在上单调递减，又，，故， 即，命题得证． 【例2】设函数f(x)＝x2＋ax－lnx. (1)若a＝1，试求函数f(x)的单调区间； (2)令，若函数g(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）f(x)在上单调递减，在上单调递增．（2） 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx，定义域为(0，＋∞)， 所以， 所以当0＜x＜时，f′(x)＜0，所以f(x)在上单调递减， 当x＞时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递增． (2)，定义域为(0，＋∞)， 则， 令h(x)＝－x2＋(2－a)x＋a－＋lnx，则， 令m(x)＝h′(x)，x∈(0，＋∞)，则， 故h′(x)在区间(0，1]上单调递减， 从而对任意的x∈(0，1]， ， ①当2－a≥0，即a≤2时， h′(x)≥0， 所以h(x)在(0，1]上单调递增， 所以h(x)≤h(1)＝0，即g′(x)≤0， 所以g(x)在区间(0，1]上是减函数，满足题意； ②当2－a＜0，即a＞2时，h′(1)＜0， 而， 所以y＝h′(x)在区间(0，1]上有唯一零点，设为x0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，1]上单调递减， 所以h(x0)＞h(1)＝0， 而， 所以y＝h(x)在区间(0，1)上有唯一零点，设为x′， 即函数g′(x)在区间(0，1)上有唯一零点， 所以g(x)在区间(0，x′)上单调递减，在(x′，1)上单调递增，不满足题