人教版八年级上册13.4课题学习：最短路径问题学案

13.4 课题学习 最短路径问题 华岳中学 张莹 学习目标： 1、已知直线同侧两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。 2、已知直线异侧两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 教学过程： 一、引入新课 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说: “白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河。” 这两句诗中隐含了一个非常有趣的数学问题—— “将军饮（yìn）马问题”． 二、探究新知 (一)两点在一条直线两侧 1、如图，一位将军骑马从军营A到军营B，途中马要到小溪l 饮水一次。问将军在l 何处饮马可以使得所走路程最短？ 师生合作：利用已经所学过的知识，可以很容易解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于点P，则点P即为所求点，根据“两点之间，线段最短”。 (二)一次轴对称 两点在一条直线同侧 2、如图，一位将军骑马从军营A到军营B，途中马要到河边饮水一次。问：这位在l 何处饮马可以使得所走路程最短？ 教师让学生发现两点在直线的同侧。 现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找一个点，使得这个点到A，B的距离之和最短？ 教师引导：我们已经会了两点在直线两侧的最短路径问题，现在两个点在直线的同侧，如何才能把你不会的转化成你会的呢？ 学生：将点B移到直线l的另一侧就可以了 教师：怎么移呢？随便找一个点可以吗？ 学生：不可以。【思考】做点B关于直线l的对称点B’。 教师：这样，我们就将点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“两点在两侧”的情况，从而使新问题得到解决．师生共同补充得出： 作出点B关于l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求． 教师：那做点关于直线l的对称点可以找到点P吗？找到的是同一个点吗？ 学生在练习本上作图，教师批阅，一名学生板演。 3、证明“最短” 师生共同分析，合作证明“AC＋BC”最短． 证明：如上右图，在直线l上的任一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′， 由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′． ∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′， AC′＋