[]江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题（扫描版）

$$ — 理科数学（摸底）答案第 1 页— 2020 届高三摸底测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B A C D C B C A 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分，满分 20分． 13．240 14． 3 15．3 16． 8 3 三．解答题：共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．【解析】（Ⅰ）因为 π 3 π sin(2 ) , (0, ) 3 2 2 C C   ,即 π π 2π 2 ( , ) 3 3 3 C    π π 2 3 3 C   即 π 3 C  ………2 分 所以 2 2 2 3 2 sin sin 2sin 3 A A     ， ………4 分 又因为a c ，所以 π 0 3 A C   ，因此 π 4 A  ； ………6 分 （Ⅱ）在 ABC 中，由 2 2 2 2 cosc a b ab C   ,得 2 212 a b ab ab    …8 分 1 sin 3 3 2ABC S ab C   ， 当且仅当时a b ，即 ABC 为等边三角形时，上式等号成立， ………10 分 所以 ABC 面积的最大值是3 3． ………12 分 18.【解析】（Ⅰ）连接 AE ， AF ，在 ABC 中， AEBCACAB  2 1 120sin 2 1  ， 故 1AE . 由于三棱柱 1 1 1ABC ABC 是直三棱柱，故 1AA 平面 ABC AEAA  1 ， 直角三角形 AEA1 中，因为 31 AA ， 1AE ，所以 2 1 21  EFEA ， 又因 AFE AE EA EF AE  1 为直角，即 AFEA 1 . ………3 分 再由E为 BC中点并且 ABC 为等腰三角形可知 BCAE  , 结合 BCAA 1 ， AAEAA 1 得BC 平面 1A AE， BC AF  ， 综合 AFEA 1 ， AFBC  ， EEABC 1 ，得到 AF 平面 1ABC， ………6 分 （Ⅱ）由于 BCAE  ，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系， 60tan AE BE  3 ，故  3,0,0B  ，  1 0,1, 3A ，  0,0,0E ，  1 3,0, 3B  ， — 理科数学（摸底）答案第 2 页— E F y z x C1 B1 A1 C B A  3,0,0EB   ，  1 0,1, 3EA   ，  1 3,0, 3EB    ， 设面 EBA1 法向量为  1111 ,, zyxn  ， 面 EAB 11 法向量为  2222 ,, zyxn  ， 1 1 1 1 1 1 0 3 0 0 3 0 n EB x n EA y z                  ，取 11 z ,得  1 0, 3,1n    ， 2 1 2 2 2 1 2 2 0 3 3 0 0 3 0 n EB x z n EA y z                   ，取 12 z ，得 2 (1, 3,1)n    ， 则二面角 1 1B AE B  的余弦值 5 52 54 4 cos 21 21       nn nn  . ………12 分 19.【解析】（Ⅰ）