浙教版九年级数学上册课件+练习：4.4 两个相似三角形的判定 (6份打包)

学 习 指 要 知识要点 1．两个三角形相似的判定： (1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． (2)判定定理(一)：有两个角对应相等的两个三角形相似． 如图4­4­1，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′. 图4­4­1 2．基本图形： 图4­4­2 (1)如图4­4­2①(“A”形图)，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. (2)如图4­4­2②(“X”形图)，若AC∥DB，则△AOC∽△BOD. 3．常见图形： (1)如图4­4­3，若∠AED＝∠B，则△ADE∽△ACB. 图4­4­3 图4­4­4 (2)如图4­4­4，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC. 图4­4­5 (3)如图4­4­5，若∠BAC＝90°，AD⊥BC， 则△ABC∽△DBA∽△DAC. (4)如图4­4­6，若∠B＝∠ADE＝∠C，则△ABD∽△DCE. 图4­4­6 图4­4­7 (5)如图4­4­7，若∠B＝∠ACE＝∠D＝90°，则△ABC∽△CDE. 重要提示 识别三角形相似的常用思路： (1)当条件中有平行线时，找“A”形图或“X”形图(找两对对应角相等)． (2)当条件中有一对相等的角(对顶角或公共角)时，可考虑再找一对相等的角． (3)两个等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等． 解 题 指 导 EQ 【例1】 (2018·江西)如图4­4­8，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，且与AC相交于点E，求AE的长． 图4­4­8 【解析】 ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD. ∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠D，∴∠CBD＝∠D，∴CD＝BC＝4. ∵CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴eq \f(CE,AE)＝eq \f(CD,AB)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2). 又∵CE＋AE＝AC＝6，∴AE＝4. 【答案】 4 EQ 【例2】 (2018·南京)如图4­4­9，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C，D，F，与AD交于点G，连结CF，FG. (1)求证：△AFG∽△DFC. (2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径． 图4­4­9 【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°， ∴∠CDF＋∠ADF＝90°. ∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF. ∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°. 又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC. (2)如解图，连结CG. ∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF， ∴△EDA∽△ADF，∴eq \f(EA,DA)＝eq \f(AF,DF). ∵△AFG∽△DFC，∴eq \f(AG,DC)＝eq \f(AF,DF)， ∴eq \f(AG,DC)＝eq \f(EA,DA). ∵DA＝DC，∴AG＝EA＝1， ∴DG＝DA－AG＝4－1＝3， ∴CG＝eq \r(DG2＋DC2)＝5. ∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径， ∴⊙O的半径为eq \f(5,2). EQ 【例3】 如图4­4­10，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF. 图4­4­10 (1)求证：△DAE≌△DCF. (2)求证：△ABG∽△CFG. 【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF， ∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF. 在△ADE和△CDF中， ∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,∠ADE＝∠CDF，,AD＝CD，))∴△ADE≌△CDF(SAS)． (2)如解图，延长BA交ED于点M. ∵△ADE≌△CDF， ∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF. 又∵∠MAD＝∠BCD＝90°， ∴∠EAM＝∠BCF. 又∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF. 又∵∠AGB＝∠CGF， ∴△ABG∽△CFG. 按时完成课后同步训练，全面提升自我！ 单击此处进入课后同步训练 $$ 学 习 指 要 知识要点 两个三角形相似的判定定理(三)：三边对应成比