专题06 指数与指数函数-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题06 指数与指数函数 【名师预测】 有关指数幂运算、指数函数的基本性质在江苏高考中常以填空题出现，同时，指数函数与导数结合的解答题为高频考点，常常作为一种载体与其他函数结合考查，重点考查指数函数的图象与性质，以及与指数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式的知识点的综合考查，难度较大。 【知识精讲】 一．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂： a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． ②负分数指数幂： a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． ③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 二．指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 注意：指数函数的结构特征 (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在区间(－∞，＋∞)上是增函数 在区间(－∞，＋∞)上是减函数 3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域 形如的函数的定义域就是的定义域． 求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论． 求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域． (2)判断复合函数的单调性 令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在[m，n]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性． 【典例精练】 考点一 指数幂的化简与求值 例1． 化简与求值： （1）； （2）. 考点二 指数函数的图象及应用 例2． 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 例3．已知函数. （1）作出该函数的图象； （2）由图象指出函数的单调区间． 考点三 指数函数的性质及应用 例4．已知a＝3π，b＝eπ，c＝e3，则a，b，c的大小关系为________． 例5． 设，则的大小关系为________． 例6． 若函数的最小值为，则实数的取值范围为________． 例7． 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，则a的值为________． 例8．已知函数满足对任意x1＜x2，都有f (x1)＜f (x2)成立，那么实数a的取值范围是________． 例9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． （1）试确定f(x)； （2）若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·扬州期中考试）函数的定义域为_______． 2．（2019·清江中学第二次调研）函数的定义域为_____________. 3．（2019·海门第二次调研）设且集合若则______. 4．（2019·扬州期末考试）已知集合，，则________． 5．（2018·姜堰中学第一次学情监测）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则__________． 6．（2019·苏州中学检测）函数f(x)＝x2＋1的值域为________． 7．（2019·无锡调研）函数f (x)＝x2－2x＋6的单调递增区间是________． 8．（2018·启东中学检测）满足x－3＞16的x的取值范围是________． 9．（2019·徐州调研）若函数f (x)＝ax－1(a＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大，则a＝________. 10．（2019·苏州5月调研）已知函数，若，则实数的值是_______． 二、解答题 11．（2019·盐城期中）已知 的值域为集合A，定义域为集合B，其中． （1）当，求； （2）设全集为R，若，求实数的取值范围． 12．（2018·苏州调研）已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)． （1）若f