2.2～2.2.3 函数的表示法（二） 映射（讲解课件）-2019-2020学年高中数学必修一【优化探究】同步导学案（北师大版）

2．2　函数的表示法(二) 2．3　映射 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像． 2.了解映射的概念，会判断给出的对应是否是映射． 3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题. 提升数学运算 准确分类讨论 加强逻辑推理 授课提示：对应学生用书第23页 [基础认识] 知识点一　分段函数 在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函，每封信函的重量和对应邮资如下表： 信函重量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100 邮资M/元[来源:学科网ZXXK] 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 (1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？ 提示：据函数定义知M是m的函数，其解析式为： M＝ (2)在(1)中有几个函数？为什么？ 提示：一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已． 　知识梳理　分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 知识点二　映射[来源:学科网] 在某次数学测试中，高一(1)班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A，他们的成绩构成集合B. (1)A中的每一个元素，在B中有且只有一个元素与之对应吗？ 提示：是的． (2)从集合A到集合B的对应是函数吗？为什么？ 提示：不是．因为集合A不是数集． 　知识梳理　1.映射 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 2．映射与函数的关系： 映射是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集合A，B可以是数集、点集或其他集合，当A，B是数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射． 思考：1.“分段函数就是几个函数”，这句话正确吗？ 提示：不正确．分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过是在不同的定义域的子区间上其解析式不同而已． 2．已知集合A＝{x|x是中国人}，集合B＝{x|x是每个中国人的身份证号码}，对应关系f：每个中国人对应其自己的身份证号码，那么对应f：A→B是函数吗？是映射吗？ 提示：不是函数，而是映射．原因是集合A与B是非空的集合，但不是非空的数集． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [自我检测] 1．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射是(　　) 解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应． 答案：C[来源:学科网] 2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图像的是(　　) INCLUDEPICTURE "B87.tif" \* MERGEFORMAT 解析：y＝－|x|＝其图像是x轴下方的两条线段，包括x＝±2时的两个端点． 答案：B 3．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________.[来源:学+科+网] 解析：∵f(－2)＝0，∴f(f(－2))＝f(0)＝π. 答案：π 授课提示：对应学生用书第23页 探究一　分段函数求值 [例1]　已知函数f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(x)＝2，求x的值． [思路点拨]　(1)由内到外，先求f； ，最后求f，再求f (2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，分段验证求x. [解析]　(1)f， ＋2＝＝ ∴f， 2＝＝＝f ∴f.[来源:学科网ZXXK]＝×＝＝f (2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x＜0；当f(x)＝x2＝2时，x＝±或4.x＝2时，x＝4，符合x≥2.综上，x的值是符合0≤x＜2；当f(x)＝，其中x＝ 延伸探究　在题设条件不变的情况下，若f(x)＞3，求x的取值范围． 解析：当x＜0时，f(x)＝x＋2＞3，得x＞1，显然无解． 当0≤x＜2时，f(x)＝x2＞3.解得x＞， 或x＜－ ∴x＞3，得x＞6. ＜x＜2.当x≥2时，f(x)＝ 综上，x的取值范围是(，2)∪(6，＋∞)． 方法技巧　1.求分段函数函数值的方法： 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间