3.4.2 对数的运算性质及换底公式（讲解课件）-2019-2020学年高中数学必修一【优化探究】同步导学案（北师大版）

第2课时　对数的运算性质及换底公式 内　容　标　准 学　科　素　养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算． 2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算 授课提示：对应学生用书第52页 [基础认识] 知识点一　对数的运算性质 当m＞0，N＞0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？ 提示：不一定成立． 　知识梳理　对数的运算性质 条件[来源:学科网ZXXK] a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 知识点二　换底公式 (1)换底公式中的底数a是特定数还是任意数？ 提示：是大于0且不等于1的任意数． (2)换底公式有哪些作用？ 提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值． 　知识梳理　1.换底公式 logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论： (1)logab·logba＝1(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1)； (2)logambn＝logab(a＞0，且a≠1；b＞0；m≠0)． 知识点三　常用结论 结合教材P81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？ 提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化． 第二步：利用对数的性质化简、求值． 知识梳理　常用结论 由换底公式可以得到以下常用结论： (1)logab＝； (2)logab·logbc·logca＝1； (3)loganbn＝logab； (4)loganbm＝logab； (5)logb＝－logab. 思考：1.若M·N＞0，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？ 提示：不一定成立．当M＞0，N＞0时成立；当M＜0，N＜0时不成立． 2．换底公式一般在什么情况下应用？ 提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算． (2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值． [自我检测][来源:Zxxk.Com] 1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是(　　) ①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga＝logax÷logay； ④loga(xy)＝logax·logay. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为loga＝logax－logay，④应为loga(xy)＝logax＋logay. 答案：A 2．(log29)×(log34)＝(　　) A. C．2 D．4 B. 解析：∵log29×log34＝＝4. ×＝× 答案：D 3．若lg a与lg b互为相反数，则a与b的关系式为________． 解析：∵lg a＋lg b＝0，∴lg(ab)＝0，∴ab＝1. 答案：ab＝1 授课提示：对应学生用书第52页 探究一　利用对数的运算性质化简求值 [例1]　计算下列各式的值： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (2)； (3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨]　灵活运用对数的运算性质求解． [解析]　(1)法一：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 法二：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18 ＝lg ＝lg 1＝0. (2)＝ ＝ ＝. ＝ (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 方法技巧　1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用． 2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，