2019秋沪科版九年级数学上册同步考点：22.2相似三角形的判定 (5份打包)

22.2　相似三角形的判定 第1课时　平行线与相似三角形 知识点一　相似三角形及相关概念 精练版P50 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似符号为“∽”． 如△ABC∽△A′B′C′，如图所示． ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，.＝＝ 相似三角形的相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似三角形的相似比或相似系数，通常用字母k表示． 温馨提示：全等三角形和相似三角形的关系：全等三角形是相似比为1的相似三角形，是相似三角形的特例． 例1　已知△ABC∽△DEF，∠A＝30°，∠B＝70°，∴AB＝3cm，DE＝6cm，EF＝9cm，求∠F的度数和BC的长． 解析：由△ABC∽△DEF可得相似三角形的对应顶点：A对应D，B对应E，C对应F，可得∠C＝∠F，BC与EF是对应边． 解：由△ABC∽△DEF，得∠F＝∠C＝180°－∠A－∠B＝80°，，∴BC＝4.5cm.＝，即＝ 注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致；(2)相似比是有顺序的，如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC的相似比为. 知识点二　用平行线判定两三角形相似 精练版P50 定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似． 符合上述特征的图形有三种，如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 例2　如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC的值是(　　　) A．1∶4　　　　 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2 解析：在平行四边形ABCD中，∵AB∥DC，∴AB∥DF， ∴△DFE∽△BAE，∴.＝ ∵O为对角线的交点，∴DO＝BO. 又∵E为OD的中点，∴DE＝DB. 则DE∶EB＝1∶3，∴DF∶BA＝1∶3. ∵DC＝AB，∴DF∶DC＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2. 答案：D 易错点　求相似比时，没有按照相似三角形的顺序求解 例3　如图所示，△ABC∽△ADE，D为AB的中点，求相似比． 解：△ABC与△ADE的相似比k＝＝2.＝ 注意：易出现不按相似三角形的顺序写的错误，实际上，相似三角形的相似比是有顺序的，△ABC∽△ADE，故相似比应是△ABC与△ADE的对应边的比．不能笼统地说“这两个三角形的相似比是2(或)”． $$ 第2课时　相似三角形的判定定理1 知识点　两角分别相等的两个三角形相似 精练版P52 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似)． 例1　如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________． 解析：本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．∵∠B＝60°，∠ADE＝60°，∴∠BAD＋∠BDA＝180°－∠B＝120°，∠CDE＋∠BDA＝180°－∠ADE＝120°，∴∠BAD＝∠CDE.又∵∠B＝∠C，∴△BDA∽△CED， ∴.∵AB＝9，BD＝3，CD＝BC－BD＝6，∴EC＝2，∴AE＝AC－EC＝7.＝ 答案：7 易错点　两三角形元素间的对应关系找不准 例2　在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝45°，∠B＝26°，∠B′＝109°，试判定它们是否相似． 解：∵∠A＝45°，∠B＝26°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝109°.∴∠C＝∠B′. 又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′. 注意：对于本题，易受思维定式的影响，认为∠A＝∠A′，但∠B≠∠B′，∠C≠∠C′，得到错误结论：△ABC与△A′B′C′不相似． $$ 第3课时　相似三角形的判定定理2 知识点　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 精练版P54 判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)． 温馨提示：利用“判定定理2”进行判定时，一定注意是“夹角”，并非任意角． 例　如图所示，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到一点N(不含点A，B)，使得△CDM∽△MAN？若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 解析：根据正方形的特征可知∠A，∠D都是直角，又因为点M是AD的中点，则a，也可以通过几何作图求解．a＝×DM＝＝2，所以点N应满足的条件是AN＝＝2，要使得△CDM∽△MAN，需 解：当AN＝a时，△CDM∽△MAN. 证明如下：∵点M是AD的中点，且正方形ABCD的边长为a， ∴∠CDM＝∠MAN＝90°，AM＝DM＝a. 又∵AN＝.＝＝2，∴＝2，a