2019秋沪科版九年级数学上册同步考点：22.3相似三角形的性质 (2份打包)

22.3　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形的性质定理1及应用 知识点一　相似三角形的性质定理1 精练版P61 性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 例1　如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于点G，AC＝15，BC＝10.求GE的长． 解析：欲求GE的长，可先求DE与DG的长，由△ADE∽△ACB与△ADG∽△ACF可求． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，四边形DEFC为其内接正方形，∴DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴.＝＝ 设正方形的边长为x，则，∴x＝6.＝ ∵DG∥CF，∴△ADG∽△ACF，∴， ＝，即＝ ∴DG＝.＝，∴GE＝6－ 注意：从解答本题的过程中可以看出，利用比例式求线段的长度是一种重要方法，主要是根据相似关系列出比例式，由比例式列出方程，通过解方程求得线段的长． 知识点二　相似三角形性质定理1的应用 精练版P61 相似三角形的知识，在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度． 例2　如图，在等腰三角形ABC中，底边BC＝60cm，高AD＝40cm，四边形PQRS是正方形． (1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？ (2)求正方形PQRS的边长． 解：(1)△ASR∽△ABC.理由如下： ∵四边形PQRS是正方形， ∴SR∥BC， ∴∠ASR＝∠ABC，∠ARS＝∠ACB， ∴△ASR∽△ABC. (2)由(1)可知△ASR∽△ABC. 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得.设正方形PQRS的边长为xcm，则AE＝(40－x)cm， ＝ ∴.解得x＝24.＝ ∴正方形PQRS的边长为24cm. 易错点　相似情形考虑不全面，解答不完整 例3　如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的长． 解析：本题中∠D＝∠C＝90°，所以两个直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即△ADP∽△PCQ或△ADP∽△QCP. 解：由题意得∠D＝∠C＝90°. (1)当△ADP∽△PCQ时，.＝，故BQ＝1－，得CQ＝＝，即＝ (2)当△ADP∽△QCP时，，得QC＝1，故BQ＝0.＝，即＝ 所以，当△ADP与△QCP相似时，BQ的长为或0. 注意：利用相似三角形对应边成比例的性质求线段的长时关键要找准对应顶点．在某些题中未说明对应关系，解题时应根据点的对应情况进行分类讨论． $$ 第2课时　相似三角形的性质定理2、3及应用 知识点一　相似三角形周长的比等于相似比 精练版P63 该定理是由相似三角形的对应边成比例，结合等比性质推理得到： 若△ABC∽△A′B′C′，且＝k.＝＝＝k，则＝＝ 例1　已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′＝2∶5，BC边上的高AD＝10cm，△A′B′C′的周长为100cm. 求：(1)△A′B′C′的边B′C′上的高A′D′的长； (2)△ABC的周长． 解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴.＝＝ ∵AD＝10cm，∴A′D′＝＝25(cm)． (2)∵△ABC∽△A′B′C′，∵.＝＝ ∵△A′B′C′的周长为100cm， ∴△ABC的周长为＝40(cm)． 注意：相似三角形的性质是利用相似三角形求线段的长、三角形的周长等的依据，在表述其性质时，切不可漏掉关键词“相似”和“对应”． 知识点二　相似三角形面积的比等于相似比的平方 精练版P63 在使用这一性质时要注意，防止出现“面积的比等于相似比”的错误．在由相似比求面积比时，面积的比＝相似比的平方；反之，在由面积的比求相似比时，相似比＝. 例2　如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是多少？ 解析：由题意可以推出△ABC与△A′BO相似．结合它们的面积比，即可推出对应的比．从而求出AA′的长． 解：由题意知∠A＝∠B′A′C′，∠A′BO＝∠ABC， ∴△A′BO∽△ABC. 又S△A′BO∶S△ABC＝1∶2， ∴A′B∶AB＝1∶， ，又∵AB＝ ∴A′B＝1，∴AA′＝－1. 易错点　混淆相似三角形面积比与相似比的关系 例3　两个相似三角形的相似比为3∶2，面积之差为25cm2，求这两个三角形的面积． 解：设这两个相似三角形的面积分别为xcm2和(x＋25)cm2. 由题意得， ＝)2，即＝( ∴x＝20，x＋25＝45. 答：这两个三角形的面积分别为20cm2和45cm2. 注意：相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不等于相似比． $$