2019秋沪科版九年级数学上册同步考点：23.1锐角的三角函数值 (5份打包)

第二十三章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 23.1.1　锐角的三角函数 第1课时　正　切 知识点一　正切的定义 精练版P77 在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝. 例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，求tan∠BCD的值．，AB＝3 解析：本题有两种解法：一种是在Rt△BCD中求tan∠BCD，这需要我们利用△BCD∽△BAC求出△BCD的两直角边长；一种是利用∠BCD＝∠A的关系，在Rt△ABC中求tanA(即tan∠BCD)． 解：解法一：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝， ＝ ∵∠DBC＝∠ABC，∠BDC＝∠ACB＝90°， ∴△BCD∽△BAC， ∴ .＝＝，即＝＝ 解得BD＝，CD＝2. ∴tan∠BCD＝.＝ 解法二：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝， ＝ ∵∠BCD＋∠ACD＝∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A. ∴tan∠BCD＝tanA＝.＝＝ 注意：对比以上两种解法，可知解法二更简单一些，因此在解题过程中，可把求一个角的正切值转化为求与它相等的角的正切值． 知识点二　坡度(坡比)、坡角 精练版P77 定义：如图，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫坡度(或坡比)，坡度一般用i表示．坡面与水平面的夹角α叫做坡角． i＝tanα＝. 温馨提示：(1)坡度的大小只与坡角α的大小有关，与坡面的长短无关．(2)坡度即是坡角α的正切值，这一关系在解题过程应用广泛． 例2　河堤横断面如图，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(　　　) A．12米　 　　　 B．4米　 C．5米米　 D．6 解析：先由坡比的定义，得BC∶AC＝1∶＝12米．米．由勾股定理，得AB＝.由BC＝6米，可得AC＝6 答案：A $$ 第2课时　正弦和余弦 知识点一　正弦的定义 精练版P79 在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝. 例1　如图(1)，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝________. 解析：如图(2)，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，由勾股定理，得AB＝AC＝2.＝＝，∴sinA＝＝AB·CE，∴CE＝BC·AD＝，可以得知△ABC是等腰三角形，由△ABC的面积公式，得，AD＝3，BC＝2 答案： 知识点二　余弦的定义 精练版P79 在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝. 例2　如图所示，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　　) A.　　D.　　C.　　B. 解析：根据锐角余弦的定义，把∠α放置在直角三角形中求解，∠α不仅是Rt△BCD中的一个锐角，而且是Rt△ABC中的一个锐角．由“同角的余角相等”可知∠α＝∠ACD，所以∠ACD的余弦值等于∠α的余弦值．故表示cosα的值，错误的是C. 答案：C 知识点三　锐角的三角函数 精练版P59 定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数． 温馨提示：(1)正弦、余弦的概念是类比正切得到的，它们的本质都是两条线段长度的比值，是数值，没有单位，只与角的大小有关． (2)由于直角三角形的斜边长大于直角边长，且各边长均为正数，所以有0<<1，所以0<sinA<1,0<cosA<1.<1,0< (3)根据正弦、余弦的概念，我们既可以求锐角的正弦值、余弦值，也可以根据已知的正弦值、余弦值求线段的长． 例3　在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为(　　　) A. D. C.　 　B. 解析：如图，sinA＝.＝＝.设BC＝5x，则AB＝13x，根据勾股定理，得AC＝12x，∴cosA＝＝ 答案：D 易错点　对锐角三角函数的定义理解不透彻 例4　在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C分别对应a，b，c，其中a＝3，c＝5，求sinA. 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴b为斜边．∴b＝.＝＝，∴sinA＝＝＝ 注意：本例易忽略∠B＝90°的条件，受∠C＝90°的思维定式的影响，容易错解成sinA＝，所以在解题时应明确直角三角形的直角边和斜边． ＝ $$ 23.1.2　30°，45°，60°角的三角函数值 第1课时　30°，45°，60°角的三角函数值 知识点　30°，45°，60°角的三角函数值 精练版P81 熟记30°，45°，60°角的三角函数值. 30° 45° 60° sinα cosα ta