2019秋沪科版九年级数学上册同步考点：23.2解直角三角形及其应用 (5份打包)

23.2　解直角三角形及其应用 第1课时　解直角三角形 知识点　解直角三角形 精练版P89 1．在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的主要依据——直角三角形的性质． (1)直角三角形的两锐角互余；(2)两直角边的平方和等于斜边的平方． 3．解直角三角形的类型 图形 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边，一直角边(如c，a) (1)b＝； (2)由sinA＝求∠A； (3)∠B＝90°－∠A 两直角边(如a，b) (1)c＝； (2)由tanA＝求∠A； (3)∠B＝90°－∠A 一边一角 斜边，一锐角(如c，∠A) (1)∠B＝90°－∠A； (2)由sinA＝求a； (3)由cosA＝求b 一直角边，一锐角(如a，∠A) (1)∠B＝90°－∠A； (2)由tanA＝求b； (3)由sinA＝求c 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．解下列直角三角形： (1)c＝8，∠A＝60° (2)b＝2，c＝4 解析：(1)已知一个锐角A和斜边c，求另一个锐角B用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余弦．(2)已知一直角边和斜边，求另一直角边用勾股定理，求两锐角用正弦或余弦． 解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵sinA＝.＝4，∴a＝csinA＝8× ∵cosA＝＝4.，∴b＝ccosA＝8× (2)∵a2＋b2＝c2，∴a＝.＝2＝ ∵cosA＝， ＝＝ ∴∠A＝45°.∴∠B＝45°. 注意：(1)在直角三角形中，若已知一锐角和斜边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、余弦)求出两条直角边．(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和其相邻的直角边，则可用余弦求出其斜边，用正切求出其对边． 易错点　思考问题不全面导致漏解 例2　在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长． 解：(1)如图(1)所示，过A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4， ∴AD＝AB·sinB＝4·sin60°＝4×， ＝2 BD＝AB·cos60°＝4×＝2. 又∵AC＝， ∴在Rt△ADC中，DC＝＝1.∴BC＝BD＋DC＝2＋1＝3.＝ (1)　　 　(2) (2)如图(2)所示，过点A作AD⊥ BC交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4， AD＝AB·sin60°＝4×， ＝2 BD＝AB·cos60°＝4×＝2. 在Rt△ACD中，AC＝， ，AD＝2 ∴CD＝＝1， ＝ ∴BC＝BD－CD＝2－1＝1. 综上所述，BC的长为3或1. 注意：本题中三角形的形状不确定，所以应该分两种情况来考虑问题．本题易出现只考虑△ABC为锐角三角形，而忽略△ABC为钝角三角形的情况． $$ 第2课时　仰角与俯角问题 知识点　仰角与俯角 精练版P91 1．仰角与俯角：进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时所成的角叫做俯角．如图所示． 2．铅垂线：垂直于水平线的直线称为铅垂线(如图)． 例　某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”知识时，开展了测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C处测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结论均不取近似值) 解：由已知可得∠ACB＝30°，∠ADB＝45°，CD＝60米．设AB＝x米，在Rt△ABD中，BD＝AB＝x米． 在Rt△ABC中，∵tanC＝， ∴BC＝x(米)．＝＝ ∵BC－BD＝CD，∴－1)x＝60.x－x＝60，即( ∴x＝＋1)， ＝30( ∴教学楼的高度为30(＋1)米． 注意：本题中的两个直角三角形都只有已知角，没有已知边，不能直接求解，故设公共边，列方程求解． $$ 第3课时　方位角问题 知识点　方位角问题 精练版P93 1．方位角：如图所示，以东西方向为横轴，南北方向为纵轴建立一平面，用平面内的角度来表示平面内的方向． 2．方位角的表示：规定水平线上是左西右东，铅垂线上为上北下南，方位角通常用南偏东(西)或北偏东(西)多少度来表示． 例　如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°的方向上，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在该岛周围6海里内有暗礁．若船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由． 解：有触礁的危险．理由如下：过C作CD⊥AB于点D，设BD＝x海里， ∴AD＝(6＋x)海里，由