知识结构与拓展 抓主要点 解析热点 复习2=2-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

抓住要点　解析热点　复习2-2 ■山东省利津县第一中学 胡 彬 考点一　导数的几何意义 导数的几何意义是重点知识,也是考试 的高频考点。求解时应把握导数的几何意义 是切点处切线的斜率,利用这一点可以解决 有关导数几何意义的问题。 角度1 求切线方程 例1 已知函数f(x)=3x+cos 2x+ sin 2x,a=f' π 4 ,f'(x)是f(x)的导函数, 求在曲线y=x3 上一点P(a,b)处的切线方程。 解析:由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, 得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,则a= f' π 4 =3-2sinπ2+2cosπ2=1。由y=x3 得y'=3x2,过曲线y=x3 上一点P(a,b)的 切线的斜率k=3a2=3×12=3。又b=a3, 则b=1。所以切点P 的坐标为(1,1),过曲 线y=x3 上的点 P 的切线方程为y-1= 3(x-1),即3x-y-2=0。 角度2 求切点坐标 例2 曲线y=3ln x+x+2在点P 处 的切线方程为4x-y-1=0,求点P的坐标。 解析:设P(x0,y0),则 3 x0 +1=4,解得 x0=1。此时y0=3。 故点P0 的坐标是(1,3)。 角度3 求参数的值 例3 已知f(x)=ln x,g(x)= 1 2x 2 +mx+ 7 2 (m<0),直线l 与函数f(x), g(x)的图像都相切,且与f(x)图像的切点 为(1,f(1)),求m 的值。 解析:因为f'(x)= 1 x ,所以直线l的斜 率为k=f'(1)=1。 又f(1)=0,故切线l的方程为y=x-1。 g'(x)=x+m,设直线l与g(x)的图像 的切点为(x0,y0)。 则x0+m=1,且y0=x0-1,y0= 1 2x 2 0 +mx0+ 7 2 ,m<0,解得m=-2。 评注:导数的几何意义是切点处切线的 斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即 求该点处的导数值,k=f'(x0); (2)已知斜率k,求切点 A(x1,f(x1)), 解方程f'(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切 点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0, f(x0)),利用k= f(x1)-f(x0) x1-x0 求解。 考点二　函数极值和最值的综合问题 例4 已知函数f(x)=ax 2+bx+c ex (a >0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3 和0。 (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在 区间[-5,+∞)上的最大值。 解 析: (1 ) f' (x ) = (2ax+b)ex-(ax2+bx+c)ex (ex)2 = -ax2+(2a-b)x+b-c ex 。 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c。 因为ex>0,所以y=f'(x)的零点就是 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且 f'(x)与g(x)符号相同。 又因为a>0,所以-3<x<0时,g(x) >0,即f'(x)>0;当x<-3或x>0时, g(x)<0,即f'(x)<0。所以f(x)的单调 增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3) 和(0,+∞)。 (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值 点,所以 9a-3b+c e-3 =-e3, g(0)=b-c=0, g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得a=1,b=5,c=5。 8 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月 所以f(x)= x2+5x+5 ex 。 因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单 调减区间是(-∞,-3)和(0,+∞),所以 f(0)=5为函数f(x)的极大值。 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值 是f(-5)和f(0)中的最大者。 而f(-5)= 5 e-5 =5e5>5=f(0),所以 函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5。 评注:求一个函数在闭区间上的最值和 在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是 不同的。求函数在无穷区间(或开区间)上的 最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单 调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的 大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值。 考点三　归纳—猜想—证明 例5 已知数列{xn}满足x1=12,xn+1 = 1 1+xn ,n∈N*。 猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论。 解析:由x1= 1 2 及xn+1= 1 1+xn ,得x2= 2 3 ,x4= 5 8 ,x6= 13 2