经典题突破方法 导数成可贵 构造价更高-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

导数诚可贵　构造价更高 ■河南省郑州外国语学校高二(22班) 孙 榕 著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中 指出,联想是解题计划的重要一环,学会联想 是数学解题成功的一大关键。 因此,在解题 过程中,要善于分析题设与结论的联系,识别 明显或隐蔽的结构特征,联想新信息与已有 知识的关联,实施合理转化,借助辅助手段促 成问题的合理转化与迅速解决。下面谈谈如 何通过有效联想、合理构造函数破解导数问 题的一些方法与技巧。 一、联想导数运算法则，构造新函数 1.联想函数和、差的导数运算法则,构造 新函数 例1 (2019届四川巴中市二诊理数第 14题)设定义在 R上的函数满足f(1)=1, f'(x)> 1 3 ,其中f'(x)是f(x)的导函数。 则不等式f(x3)< 1 3x 3+ 2 3 的解集为 。 解析:通法(构造抽象函数):令g(x)= f(x)- 1 3x- 2 3 ,x∈R。 由f'(x)> 1 3 ,得g'(x)=f'(x)- 1 3> 0,所以g(x)在R上单调递增。 又g(1)=f(1)- 1 3- 2 3=0 ,所 以 f(x3)< 1 3x 3+ 2 3⇔f (x3)- 1 3x 3- 2 3<0⇔ g(x3)<g(1)⇔x3<1⇔x<1。 故原不等式解集为(-∞,1)。 巧法(取特殊函数):令函数f(x)=x, 满足题设f(1)=1,f'(x)> 1 3 。则原不等式 可化为x3< 1 3x 3+ 2 3 ,即x3<1,x<1。解 集为(-∞,1)。 【感悟拓展】遇到f'(x)>±g'(x)(或< ±g'(x))型问题,可以考虑构造函数F(x) =f(x)∓g(x),则F'(x)=f'(x)∓g'(x)>0 (或<0)。 特别地,遇到f'(x)>k(或<k,k 为常 数)型问题,可以考虑构造函数g(x)=f(x)- kx+c(k,c为常数),则g'(x)=f'(x)-k> 0(或<0)。 【变式训练1】(2018届南昌市十校二模 第12题)已知函数y=f(x)的导函数为 f'(x)。若f(x)-f(-x)=2x3,且当x≥0 时,f'(x)>3x2,则不等式f(x)-f(x-1)> 3x2-3x+1的解集是( )。 A.- 1 2 ,+∞ B.12,+∞ C.-∞,- 1 2 D.-∞,12 解析: 令g(x)=f(x)-x3,则 由f(x)- f(-x)=2x3,可得f(x)-x3=f(-x)- (-x)3,即g(x)=g(-x),故g(x)为偶函 数。 当x≥0时,g'(x)=f'(x)-3x2>0,所 以g(x)在[0,+∞)上为增函数。 所以f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1⇔ f(x)-x3>f(x-1)-(x-1)3⇔g(x)> g(x-1)⇔g(|x|)>g(|x-1|)⇔|x|> |x-1|≥0⇔x> 1 2 。 故选B。 2.联想函数积的导数运算法则,构造新 函数 例2 (深圳市2018届高三一调文数 试题)已知函数f(x)是定义在 R上的奇函 数,且在区间(0,+∞)上有3f(x)+xf'(x)> 0恒成 立,若 g(x)=x3f(x),令 a= glog2 1 e , b=g(log52), c=g(e -12),则 ( )。 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 分析:观察3f(x)+xf'(x)>0,将左边 25 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 乘以 x2,得3x2f(x)+x3f'(x),正 好 是 g(x)=x3f(x)的导函数。 解析:因为f(x)是定义在 R 上的奇函 数,所以g(x)=x3f(x)为偶函数。 又在 区 间 (0,+ ∞)上 g'(x)= [x3 f(x)]' =x2[3f(x)+xf'(x)]>0,所以 g(x)=x3f(x)在(0,+∞)上是增函数。 因为a=g log2 1 e =g(-log2e)= g(log2e),b=g(log52) ,c=g e -12 ,而0< log52<log5 5= 1 2< 1 e =e -12<1<log2e,所 以 g(log52)<ge -12 <g(log2e),即 b<c< a,故选C。 例3 (2015届四川内江市三模理数第 9题)函数f(x)是定义域为{x|x∈R,x≠0} 的奇函数,且f(1)=1,f'(x)为f(x)的导函 数,当x>0时,x2f'(x)+xf(x)>x+1,则 不等式xf(x)>1+ln|x|的解集为( )。 A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)