经典题突破方法 导数问题中的“合二为一”与“一分为二”-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

导数问题中的“合二为一”与“一分为二” ■浙江省杭州市余杭区教育局教研室 曹凤山(特级教师) 俗话说,天下大势,合久必分,分久必合。 数学问题求解也一样,也会有结构、形式的分 分合合,当然,合有合的道理,分有分的依据, 分分合合是命题者考查目标确定的,理解考 查目的,把握“大势”,解题就能方向明确,胸 有成竹。下面略举导数中的若干问题加以说 明。 1.合二为一 合二为一,就是把形如f(x)≥g(x)之 类的问题,转化为h(x)=f(x)-g(x)≥0, 通过研究函数h(x)的图像与性质,解决原来 的问题。合二为一是处理导数问题比较常见 的转化形式。 例1 (2013年高考数学全国新课标理 科第21题)已知函数f(x)= aln x x+1+ b x ,曲 线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0。 (1)求a、b的值; (2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)> ln x x-1+ k x ,求k的取值范围。 解析:(1)易得a=1,b=1。 (2)问题即:当x>0,且x≠1时, ln x x+1+ 1 x≥ ln x x-1+ k x ,求k 的取值范围。直接研究 左、右两个函数? 需要分别研究其最小值、最 大值。其中,函数f(x)= ln x x+1+ 1 x ,其导函 数 f' (x) = x+1-xln x x(x+1)2 - 1 x2 = -x2ln x-x-1 x2(x+1)2 ,单调性的确定需要反复求 导,右边函数单调性还需要分类讨论,求解的 可能性很少,只能到此为止。 分离参数也是同学们常用的一种解题模 式。实质也是两个函数,不过一个函数简单。 分离成k<1- 2xln x x2-1 =g(x),由于g'(x)= 2+2x2ln x (1-x2)2 + 2 1-x2 ,后面将难以为继。 合二为一怎么样呢? 由(1)知,f(x)- ln x x-1+ k x = 11-x2· 2ln x+ (k-1)(x2-1) x 。 考 虑 函 数 h (x ) = 2ln x + (k-1)(x2-1) x (x >0),则 h' (x)= (k-1)(x2+1)+2x x2 。 ① 设 k ≤ 0, 由 h' (x ) = k(x2+1)-(x-1)2 x2 知,当x≠1时,h'(x)< 0。而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0, 可得 1 1-x2 h(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可 得 1 1-x2 h(x)>0。 从而 当 x>0,且 x ≠1 时,f(x)- ln x x-1+ k x >0,即f(x)>ln x x-1+ k x 。 ②设0<k<1,由于当x∈ 1, 1 1-k 时, (k-1)(x2 +1)+2x>0,故h(x)>0。而 h(1)=0,故当x∈ 1, 1 1-k 时,h(x)>0,可 得 1 1-x2 h(x)<0,与题设矛盾。 ③设k≥1,此时h'(x)>0。而h(1)= 0,故当 x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可 得 1 1-x2 h(x)<0,与题设矛盾。 综合,k的取值范围为(-∞,0]。 63 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 点评:本题为什么合二为一是可行的,分 开却不便或者不能求解,主要由试题的考查 目标确定。从以上不同求解思路可以发现, 合二为一,涉及含字母的分类讨论、充分利用 已知条件(如h(1)=0)、依据关系式的特点 灵活变形 如f(x)- ln x x-1+ k x = 11-x2(2ln x+ (k-1)(x2-1) x 等,一分为二的解法明显使 考查目标落空,命题者就把这条路堵上了。 2.一分为二 研究一个函数的图像与性质,通常会因 为形式太复杂而无能为力。经常合二为一, 也会思维定式。分而治之(一分为二)也是一 条不错的途径。与合二为一相反,一分为二 就是把函数f(x)≥0转化为f(x)=g(x) -h(x)≥0,即g(x)≥h(x),再分别研究函 数g(x),h(x)的图像与性质。 例2 (2014年高考新课标全国Ⅰ卷改 编)设函数 f(x)=exln x+ 2ex-1 x ,证 明: f(x)>1。 证明:直接对函数f(x)=exln x+ 2ex-1 x 求最值,从导函数形式可以判断,形式会很烦 琐。如果合二为一,证明函数f(x)-1= exln x+ 2ex-1 x -1>0 ,或者改变形式,g(x) = xln x-xe-x+ 2 e>0 ,求导发现g'(x)= ln x+1- 1-x ex ,即使再次求导也不便判断