2020版高考数学（文）大一轮复习导学案：专题提能课(1)　函数、导数、不等式

专题提能课(1)　函数、导数、不等式 1　 设直线l：y＝kx与曲线h(x)＝ex相切于点(x0，ex0)，因为h′(x)＝ex，则ex0＝，解得x0＝1，故l：y＝ex，由图象知不等式ex≥ex成立(当且仅当x＝1时不等式取等号)． [例1]　已知函数f(x)＝ax2－ex(x∈R)． (1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性并给予证明； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)． ①求实数a的取值范围； ②证明：－＜f(x1)＜－1.(注：其中e是自然对数的底数) 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－ex在R上单调递减，证明如下． 因为f′(x)＝2ax－ex，当a＝1时，f′(x)＝2x－ex， 又曲线y＝ex过原点的切线是y＝ex， 所以当x≤0时，f′(x)＝2x－ex＜0， 当x＞0时，ex ＞2x，故f′(x)＝2x－ex＜0， 所以当x∈R时，f′(x)＝2x－ex＜0， 当a＝1时，f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减． (2)①由f(x)有两个极值点知f′(x)＝2ax－ex有两个零点，又曲线y＝ex过原点的切线是y＝ex，所以结合图象易知应满足2a＞e，解得a＞. ，故所求实数a的取值范围是 ②证明：由f′(x1)＝0，即2ax1－ex1＝0，得a＝，由①易知x1∈(0,1)， 故f(x1)＝ax，x1∈(0,1)， －ex1＝ex1 而f′(x1)＝(x1－1)＜0， 即f(x1)在(0,1)上单调递减，故f(1)＜f(x1)＜f(0)， 即－＜f(x1)＜－1. [评析]　①巧妙利用不等式ex≥ex，可回避分类讨论和二次求导； ②利用这种方法比其他方法更便于发现极值点x1在区间(0,1)上，有利于②的证明； ③对于导函数是f′(x)＝bex－ax形式的都可以用此方法来判断f′(x)的正负． 2 2　 因为函数g(x)＝ln x与函数h(x)＝ex互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，因而过原点的切线也关于直线y＝x对称，即函数g(x)＝ln x的图象过原点的切线是l：y＝x成立(当且仅当x＝e时不等式取等号)． x，由对称性知不等式ln x≤ [例2]　已知函数f(x)＝ax2＋x(1－ln x)(a∈R)． (1)当a＝时，判断f(x)的增减性并予以证明． (2)若f(x)有两个极值点． ①求实数a的取值范