2020版高考数学（文）大一轮复习导学案：专题提能课(5)　数列不等式的证明与放缩问题

专题提能课(5)　数列不等式的证明与放缩问题 高考为什么考 高考考什么 高考怎么考 数列与不等式的综合，既是知识的结合点，也是数学方法与思想的综合点，更是能力的培养点，是高考的一个热点题型，具有很高的选拔性和区分度. 主要考不等式的常用方法，比较法、放缩法、利用函数的单调性法和数列的基本知识. 常出现在高考数列试题的第(2)问中，在第(1)问的基本问题的基础上，进行有关自然数不等式的推理与证明. 1　 对于较简单的试题，往往先用等比数列求和、裂项相消法或错位相减法，先求和后放缩． [例1]　设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6. 解析：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0. 因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3. 又2a1，a3－1，a4＋1成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，解得d＝2，a1＝1. 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*. (2)由)n－1，则 ＝(2n－1)·(＝2n－1，得bn＝ Tn＝1·()n－1， )1＋…＋(2n－1)·()0＋3·( 所以)n， )n－1＋(2n－1)·()2＋…＋(2n－3)·()1＋3·(Tn＝1·( 两式相减得： －)n＝1＋)n－1－(2n－1)·()2＋…＋2·()1＋2·(Tn＝1＋2·( ＝3－， － 故Tn＝6－，n∈N*. ∵n∈N*， ∴Tn＝6－＜6. [评析]　(1)由已知构建基本量a1，d的方程组，再利用通项公式可求出an；(2)通过错位相减法，构造等比数列求和，再放缩可得． 2　 [例2]　已知数列{an}满足a2＝9，an＋1＝8an－7，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝. }的前n项和为Tn，求证：Tn＜(n∈N*)，将cn的底数与指数互换得到dn，设数列{ 解析：(1)由已知可得：an＋1－1＝8(an－1)，又由a2＝8a1－7⇒a1＝2，故a1－1＝1≠0，所以数列{an－1}是以1为首项、8为公比的等比数列，所以an－1＝8n－1，所以，数列{an}的通项公式为an＝8n