人教七年级 上册一元一次方程数学沃土中长出的奇葩----幻方

数学沃土中长出的奇葩----幻方 一、幻方的由来 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹治水时，有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。 原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。如图1所示： “洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。这九个数就组成了一个纵横图。 这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三行三列，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都等于15，如图2所示， 这样的3×3的图我们称为三阶幻方。由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。九宫算在汉代之后又有很大的扩展，成为纵横均为ｎ行的纵横图也就是n阶幻方。 这就是幻方的由来. 二、三阶幻方中的规律 根据幻方成立的条件，我们知道三阶幻方具有如下规律： 1、每一行，每一列，每一条对角线上的三个数的和相等，我们不妨把这个相等的和值叫做三阶幻方的幻和. 2、中心数 处于幻方最中间的数称为中心数，且幻和=3×中心数. 3、含中心数的行，列，对角线上的三个数中，其余两个数的和是中心数的2倍. 证明：设三阶幻方的幻和为S，对角线的三个数为a,b,c，其中b是中心数，根据幻方知道： a+b+c=S,S=3b,所以a+c=2b. 4、和任何一个角上的数同横行，同竖列，同对角线上的其余两个数的和相等. 如图3，以数a为例，则有d+e=b+c=f+g. 证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+d+e=S, a+ f+g =S, 所以d+e=b+c=f+g. 5、和周边三数的中间数同横行，同竖列的两个数的和相等. 如图3，以数b为例，则有a+c=p+f. 6、任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半. 证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+f+g=S, p+