专题2.3 等差数列的前n项和-学易试题君之同步课堂帮帮帮2019-2020学年高二数学人教版（必修5）

2.3 等差数列的前n项和 一、数列前n项和的概念 一般地，我们称______________为数列的前n项和，用表示，即．由此易得与的关系为． 二、等差数列的前n项和公式 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为 ，或． 三、等差数列前n项和公式的函数特性 在等差数列中，． 令，，可得，则 （1）当，即时，是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点； （2）当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点． 四、等差数列前n项和的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）． （2）若数列共有项，则，， ；若数列共有项，则，． （3），． （4）构成公差为的等差数列． （5）． 特别地，当时，；当，时，． 一、 二、 三、 帮—重点 等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算 帮—难点 等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题 帮—易错 解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项 1．由前n项和求通项公式 （1）已知求通项公式：利用即可求解； （2）已知与之间的关系求：由关系式消去，建立与或之间的关系求；或由关系式消去，建立与之间的关系求，进而求． 已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式______________． 【答案】． 【解析】当时，； 当时，， 而，故数列的通项公式为． 已知数列的前n项和为，若，求证：是等差数列，并求． 【答案】证明见解析，． 【解析】当时，，由，可得， 因为，两边同时除以可得， 所以数列是等差数列． 因为，，所以，即． 当时，， 故． 【名师点睛】利用关系式解题时务必要注意的条件． 2．等差数列前n项和的基本量计算 在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”，其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组． 因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径． 在等差数列中，（1）若，，则______________； （2）若，则______________； （3）若，，则______________． 【答案】（1）32；（2）54；（3）184． 【解析】（1）方法1：因为，，所以