第11讲 三角函数的综合应用-高考文科数学历年真题破解

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 一、选择题[来源:学§科§网Z§X§X§K] 1．（2016年天津）已知函数 ， ．若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2016全国II卷）函数的最大值为[来源:学科网ZXXK] A．4 B．5 C．6 D．7[来源:Zxxk.Com] 3．（2015年陕西高考）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 [来源:学_科_网] A．5 B．6 C．8 D．10 4．（2015浙江）存在函数 满足，对任意 都有[来源:Z*xx*k.Com] A． B． [来源:学#科#网Z#X#X#K] C． D． [来源:Z#xx#k.Com] 5．（2015新课标2）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP= ．将动点P到A，B两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为[来源:学科网ZXXK] [来源:学+科+网] A B C D 6．（2014新课标1）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为 A． B． C． D．[来源:学科网ZXXK][来源:学科网] 二、填空题 7．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， = ． 8．（2017浙江）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值 是 ，最大值是 ． 9．（2016年浙江）已知，则______． 10．（2014陕西）设 ，向量 ，若 ， 则 ____． 三、解答题 11．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 （ 为此圆弧的中点）和线段 构成．已知圆 的半径为40米，点 到 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 与 所成的角为 ． (1)用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 12．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线 的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 ， 的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒 ，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）[来源:学。科。网Z。X。X。K] （1）将 放在容器Ⅰ中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中部分的长度；[来源:学|科|网] （2）将 放在容器Ⅱ中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中部分的长度． 13．（2015山东）设 ．[来源:学|科|网Z|X|X|K] （Ⅰ）求 的单调区间；[来源:Z,xx,k.Com][来源:学科网ZXXK] （Ⅱ）在锐角△ 中，角 ，的对边分别为 ，若 ， ，求△ 面积的最大值．[来源:学§科§网Z§X§X§K] 14．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： ， . （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 15．（2014陕西） 的内角 所对的边分别为 ．[来源:学科网] （I）若 成等差数列，证明： ；[来源:学_科_网] （II）若 成等比数列，求 的最小值． 16．（2013福建）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．[来源:学§科§网] （1）求函数与的解析式； （2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由；