第17讲 递推数列与数列求和-高考文科数学历年真题破解

专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 2019年 [来源:Zxxk.Com] 1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an} 满足： ，求证：数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn} 满足： ，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．[来源:Z_xx_k.Com] 2.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b， ,则 A．当b= 时，a10＞10 B．当b= 时，a10＞10 C．当b=-2时，a10＞10 D．当b=-4时，a10＞10 3.（2019浙江20）设等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满 足：对每个 成等比数列.[来源:学科网ZXXK] （1）求数列 的通项公式； （2）记 证明： 2010-2018年 一、选择题 1．（2013大纲）已知数列满足 ，则的前10项和等于 A． B． C． D． 2．（2012新课标）数列满足 ，则的前60项和为 A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 3．（2011安徽）若数列的通项公式是 ,则 = A．15 B．12 C．－12 D．－15 二、填空题 4．（2015新课标1）数列 中 为 的前n项和，若 ，则 ． 5．（2015安徽）已知数列 中， ， ( )，则数列 的前9项和等于______． 6．（2015江苏）数列 满足 ，且 （ ），则数列 前10项的和为 ． 7．（2014新课标2）数列 满足 ，=2，则=_________． 8．（2013新课标1）若数列{}的前n项和为 ＝，则数列{}的通项公式是=______． 9．（2013湖南）设为数列的前n项和，则 （1）_____；[来源:Zxxk.Com] （2）___________． 10．（2012新课标）数列 满足 ，则 的前60项和为 ． 11．（2012福建）数列 的通项公式 ，前 项和为 ，则 =___． 12．（2011浙江）若数列 中的最大项是第 项，则 =____________． 三、解答题 13．（2018天津）设 是等差数列，其前 项和为 ( )； 是等比数列，公比大于0，其前 项和为 ( )．已知 ， ， ， ． (1)求 和 ；[来源:学|科|网][来源:学_科_网Z_X_X_K] (2)若 ，求正整数 的值． 14．设（2017新课标Ⅲ）数列 满足 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和． 15．（2016全国I卷）已知 是公差为3的等差数列，数列 满足 ， ， ． （I）求 的通项公式； （II）求 的前n项和． 16．（2016年全国II卷）等差数列{}中，． (Ⅰ)求{}的通项公式； (Ⅱ)设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2． 17．（2015浙江）已知数列 和 满足， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ． （Ⅰ）求 与 ； （Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，求 ． 18．（2015湖南）设数列 的前 项和为 ，已知 ， 且 EMBED Equation.DSMT4 ．[来源:学.科.网] （Ⅰ）证明： ；[来源:学,科,网Z,X,X,K] （Ⅱ）求 ． 19．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足[来源:学&科&网Z&X&X&K] ． （Ⅰ）求的值；[来源:Z.xx.k.Com] （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数，有 20．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N (Ⅰ)求，，并求数列的通项公式； (Ⅱ)求数列｛｝的前项和． 21．（2011广东）设 ，数列满足 ，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 ， $$ 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”.[来源:Z*xx*k.Com] （2）①因为 ，所以 ． 由 ，得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n . ②由①知，bk=k， . 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因