2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决不等式问题（解析版+原卷版） (共2份打包)

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决不等式问题 题型一　利用导数解决不等式的恒成立与能成立问题 【题型要点】 已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决这个问题的常用思想方法如下： (1)分离参数法： 第一步，将原不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式； 第二步，利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的最大(小)值； 第三步，解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min从而求出参数λ的取值范围． (2)函数思想法： 第一步，将不等式转化为某含参数的函数的最值问题； 第二步，利用导数求出该函数的极值(最值)； 第三步，构建不等式求解． 【例1】已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R. (1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围； (3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围． 题组训练一 利用导数解决不等式的恒成立与能成立问题 已知函数f(x)＝ex－1＋ax，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若∀x∈[1，＋∞)，f(x)＋ln x≥a＋1恒成立，求a的取值范围． 题型二　利用导数证明与函数有关的不等式 【题型要点】 用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，则f(x1)<f(x2)．对于减函数有类似结论． (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)． (3)证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0. 【例2】已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)． (1)当x>1时，求f(x)的单调区间和极值； (2)若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)<4ln x成立，求k的取值范围； (3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2<e2k. 题组训练二 利用导数证明与函数有关的不等式 已知函数f(x)＝ln x＋(a>0)． (1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围； (2)证明：当a≥时，f(x)>e－x. 题型三　用赋值法证明与正整数有关的不等式 【题型要点】 (1)利用导数研究的正整数不等式一般都与题目给出的函数不等式有关，如本例中给出的函数f(x)在a＝，x≥1时，有不等式≥ln x，根据函数的定义域，这个不等式当然对一切大于等于1的数成立，这样根据所证不等式的特点，给定x以适当的数值即可证明正整数不等式．凡涉及从1到n的整数的不等式，而且不等式中含有ln n的问题，一般都是通过赋值使之产生ln，ln等使问题获得解决的，如证明＋＋…＋<n＋ln 2－ln(n＋2)时，就是通过变换＝1－，进而通过不等式x>ln(1＋x)(x>0)，得>ln＝ln(n＋1)－ln n. (2)证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的不等式进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，使用导数就是错误的． 【例3】已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1. (1)用a表示出b，c； (2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围； (3)证明：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋(n≥1)． 题组训练三 用赋值法证明与正整数有关的不等式 设函数f(x)＝ex－ax－1，对∀x∈R，f(x)≥0恒成立． (1)求a的取值集合； (2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)． 题型四 构造函数法在解题中的应用 【例4】　已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R)． (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln，且x>0时，>x＋－3a. 题组训练四 1．构造函数解不等式 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A．(－2，＋∞)　　　　　　　　B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 2．构造函数证明不等式 设函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x＞0)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0. (1)求a，