角平分线的定义、性质和判定应用指南

角平分线的定义、性质和判定应用指南 山东沂源县徐家庄中心学校 256116 张明忠 左效平 角平分线的定义、性质和判定在解题中有着广泛的应用，下面就分别从定义，性质和判定三个层面谈一谈. 一、应用角平分线的定义在三角形中解题 1、平分三角形的两个内角 例1 如图1， 已知点O是三角形ABC内部一点，且OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，若∠A=40°，求∠BOC的度数. 解析： 因为OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB， 所以∠OBC+∠OCB=1/2∠ACB+1/2∠ABC=1/2（∠ABC+∠ACB），因为∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1/2（∠ABC+∠ACB） =180°-1/2（180°-∠A）=90°+1/2∠A，因为∠A=40°，所以∠BOC=90°+20°=110°. 点评：此题可以引申为一般性结论： 如果 点O是三角形ABC内部一点，且OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，若∠A=β， 则∠BOC=90°+1/2β. 2、平分三角形的两个外角 例2 如图2， 已知三角形ABC,OB,OC分别平分∠EBC和∠FCB，若∠A=40°，求∠BOC的度数. 解析： 因为OB,OC分别平分∠EBC和∠FCB，所以∠OBC=1/2∠EBC，∠OCB=1/2∠FCB， 所以∠OBC+∠OCB=1/2∠FCB+1/2∠EBC=1/2（∠EBC+∠FCB），因为∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC +180°-∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-1/2∠A，因为∠A=40°，所以∠BOC=90°-20°=70°. 点评：此题可以引申为一般性结论： 如果 点O是三角形ABC两个外角角平分线的交点，若∠A=β，则∠BOC=90°-1/2β. 3、平分三角形的一个内角和一个外角 例3 如图3， 已知三角形ABC，OB,OC分别平分∠ABC和∠ACD，若∠A=40°，求∠BOC的度数. 解析： 因为OB,OC分别平分∠ABC和∠ACD，所