2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分（解析版+原卷版）

2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分 题型一　导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】 (1)曲线y＝f(x)在点x＝x0处导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)，由此当f′(x0)存在时，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)过P点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；②表示出切线方程；③已知点P在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标． (3)①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；②对数函数的求导，可先化为和、差的形式；③三角函数的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；④复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导． 例1．函数f(x)＝ ln x＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α 的取值范围是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 例2．若实数a，b，c，d满足(b＋a2－3ln a)2＋(c－d＋2)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．8 题组训练一 导数的几何意义及导数的运算 1．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝(　　) A．1　　　　　　　　 B. C．1－ln 2 D．1－2ln 2 2．在直角坐标系xOy中，设P是双曲线C：xy＝1(x>0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A、B两点，则以下结论正确的是(　　) A．△OAB的面积为定值2 B．△OAB的面积有最小值为3 C．△OAB的面积有最大值为4 D．△OAB的面积的取值范围是[3,4] 题型二　利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】 求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【提醒】　讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制． 例1.已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)＝f(x)＋，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f(x)＝(a∈R)． (1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围． 题型三　利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】 (1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，研究极值情况；④确定f′(x0)＝0时x0左右的符号，定极值． (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解． 例1.设函数G(x)＝xln x＋(1－x)·ln (1－x)． (1)求G(x)的最小值； (2)记G(x)的最小值为c，已知函数f(x)＝2a·ex＋c＋－2(a＋1)(a>0)，若对于任意的x∈(0，＋∞)，恒有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围． 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 题型四　定积分 【题型要点解析】 (1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几