2019年秋北师大版九年级上册数学教案：1.2 矩形的性质与判定

1.2 矩形的性质与判定

第1课时　矩形的定义和性质

1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理．

2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识．

3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值．

重点

矩形的性质定理的理解及应用．

难点

矩形的性质定理的应用．

一、情境导入

课件出示教材第11页情境图，提出问题：

这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

教师：你还能举出一些生活中矩形的例子吗？

二、探究新知

1．探究矩形的性质定理

教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究．

(1)改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？

学生：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质．

(2)用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？

学生：橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等．

(3)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

学生：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴．

(4)你认为矩形还具有哪些特殊性质？

学生：矩形的四个角都是直角，对角线相等．

教师：你能证明这些结论吗？

学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理：

矩形的四个角都是直角．

矩形的对角线相等．

2．探究直角三角形的性质定理

课件出示教材第12页图1－9，提出问题：

如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？

学生观察、思考后发现：AE＝AC，BE＝BD，BE是Rt△ABC的中线．

由此归纳直角三角形的一个性质定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

三、举例分析

例1　如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求这个矩形对角线的长．

分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA＝OB，由于∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，则OA＝AB＝4 cm，∴AC＝BD＝2OA＝8 cm.

例2　如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE＝AC.

分析：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC的中点F，也可以取AC的中点G.

学生分四人小组，合作探究不同的证法．

证法一：取BC的中点F，连接EF，DF，如图①.

∵E为AB中点，∴EF∥AC.∴∠FEB＝∠A.

∵∠A＝2∠B，∴∠FEB＝2∠B.∵DF＝BC＝BF，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2.

∴∠1＝∠2.∴DE＝EF＝AC.

证法二：取AC的中点G，连接DG，EG，如图②.

∵CD是△ABC的高，

∴在Rt△ADC中，DG＝AC＝AG.

∵E是AB的中点，∴GE∥BC.∴∠1＝∠B.

∴∠GDA＝∠A＝2∠B＝2∠1.

又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1.

∴∠2＝∠1.∴DE＝DG＝AC.

四、练习巩固