2019年秋北师大版九年级上册数学教案：2.3 用公式法求解一元二次方程

2.3 用公式法求解一元二次方程

第1课时　用公式法求解一元二次方程

 

1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题．

2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况．

3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风．

重点[来源:学。科。网Z。X。X。K]

用公式法解一元二次方程．

难点

用配方法推导求根公式的过程．

一、复习导入

用配方法解下列方程：

(1)2x2＋3＝7x；(2)3x2＋2x＋1＝0.

学生独立完成，指名板演．

(1)2x2＋3＝7x.

解：将方程化成一般形式2x2－7x＋3＝0.

两边都除以一次项系数2，得x2－x＋＝0.

配方，得x2－x＋()2－＋＝0，

即(x－)2－＝0.

移项，得(x－)2＝.

两边开平方，得x－＝±，

即x＝±.

所以x1＝3，x2＝.

(2)3x2＋2x＋1＝0.

解：两边都除以一次项系数3，得x2＋x＋＝0.

配方，得x2＋x＋()2－＋＝0，

即(x＋)2＋＝0.

移项，得(x＋)2＝－.

因为－<0，

所以原方程无解．

二、探究新知

1．一元二次方程的求根公式

课件出示：

用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式．

解：两边都除以一次项系数a，得x2＋x＋＝0.[来源:Z#xx#k.Com]

教师：为什么可以两边都除以二次项系数a?

学生：因为a≠0.

配方，得x2＋x＋()2－＋＝0，

即(x＋)2－＝0.

移项，得(x＋)2＝.

教师：现在可以两边开平方吗？

学生：不可以，因为不能保证≥0.

教师：什么情况下可以两边开平方？

学生讨论后回答：因为a≠0，所以4a2>0.要使≥0，只要 b2－4ac≥0即可．

所以当b2－4ac≥0时，两边开平方，得

 x＋＝±.

所以x＝－±，

x＝.

归纳：x＝称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．

2．一元二次方程的判别式

教师：如果b2－4ac<0时，会出现什么问题？

学生：方程无解．

教师：如果b2－4ac＝0呢？

学生：方程有两个相等的实数根．

归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，

当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当b2－4ac<0时，方程没有实数根．

教师：由以上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．

三、举例分析

例1　解方程：

(1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x.

引导学生根据以下步骤解方程：①确定a，b，c的值；②判断方程是否有根；③写出方程的根．

例2　判断下列方程的根的情况：