2019年秋北师大版九年级上册数学教案：2.6 应用一元二次方程

2.6 应用一元二次方程

第1课时　列一元二次方程解决几何与行程问题

 

1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．

2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．

3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．

重点

列一元二次方程解决实际问题．

难点

寻找实际问题中的等量关系．

一、情境导入

教师：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？

课件出示教材第52页图2－7，提出问题：[来源:学.科.网]

(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

 (2)如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，这个距离是多少？

学生分组讨论：怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方

程？

注意：涉及解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少．

二、探究新知

课件出示教材第52页例1.

如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E外，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile)

分析：此题难度较大，一定要给学生充分的时间去体会题意，分析题意，不能急于求成．在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，再求解．

在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：

(1)要求DE的长，需要如何设未知数？

(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？

(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？

学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：

速度等量：V军舰＝2×V补给船；

时间等量：t军舰＝t补给船；

三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2.

弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示

军舰的路程．

学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE，EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．

教师：通过上面两道题的探究，应用一元二次方程解决实际问题有哪些步骤？

引导学生总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤如下：

(1)审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；

(2)设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母(x)表示出来，设元又分直接设元和间接设元；

(3)列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；

(4)解方程：求出所列方程的解；

(5)验根：检验未知数的值是否符合题意；

(6)写出答案．

三、举例分析

例1　一个直角三角形的斜边长为7 cm，一条直角边比另一条直角边长1 cm，那么这个直角三角形的面积是多少？

例2　如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？

图①[来源:学科网]

　　　图②

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

例3　在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)把耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田面积为570 m2，问道路应为多