三角形中的计数问题

三角形中的计数问题 设计到三角形的计数问题，这些题主要考同学们对规律探索的方法，非常有趣。下面举例加以说明。 1、三角形中计数角的大小 例1、如图1所示，在△ABC中，∠A＝ ，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1 得∠A1 ，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2 , 得∠A2 ， ……，∠A2008BC的平分线与∠A2008CD的平分线交于点A2009 ，得∠A2009 ,则∠A2009＝ 。 解法探析： 通过读题，知道问题设计了三个方面的知识点： 1、三角形的内角平分线的性质； 2、三角形的外角平分线的性质； 3、三角形的外角与不相邻内角之间的关系的应用。为了能够让同学们更清楚的看懂解题的思路，我们不妨把问题的解答过程分成如下几个环节： ①简化成最简单的形式 如图2，已知 ：在△ABC中，B A1平分∠ABC，C A1平分∠ACE。 探索∠A1与∠A之间的关系。 证明： 因为，B A1平分∠ABC，C A1平分∠ACE， 所以，2∠2=2∠1+∠A， 因为，∠2=∠1+∠A1， 所以，2∠2=2∠1+2∠A1， 所以，∠A =2 ∠A1， 即∠A1= ∠A= 。 ②再作进一步深度思考 因为，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2 , 得∠A2 ， 所以，2∠A2CD =2∠A2BC +∠A1， 因为，∠A2CD =∠A2BC +∠A2， 所以，2∠A2CD =2∠A2BC +2∠A2， 所以，∠A1=2 ∠A2， 即∠A2= ∠A1= 。 ③分析结论的变化规律 仔细观察这两个已有的结论， 变化的是：字母A的右下脚码和底数 的指数，且变化的规律是： 字母A的右下脚码和底数 的指数相同。 ④完成考题的解答 因为，字母A的右下脚码是2009，所以，底数 的指数也是2009， 所以，∠A2009＝ 。 点评： 我们做完题后，反思这道题的结论能否推广成一般性的结论呢？ 回答是：行。 把结论作如下推广 如图3，：当第n次的时候，有如下关系：∠An = 。 感兴趣的同学，自己完成推广的证明吧！ 2、在三角形中计数三角形的个数 例2、如图4所示所示，图中三角形的个数共有（ ） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 分析： 在计数三角形的个数时，同学们要找到一种科学、方便的计数方法