人教版八年级上册 等腰三角形中“双解”问题例析

等腰三角形中“双解”问题例析 等腰三角形是一种特殊的三角形，等腰三角形计算问题中的“双解”问题，就是等腰三角形的一个特性．下面就向同学们介绍比较新颖的三例，供同学们学习时参考． 一、中线将等腰三角形的周长分成固定长度的两部分，求底边的长 例1在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 分析：如图1所示，等腰三角形ABC一腰上的中线BD将三角形ABC的周长分成AB+AD和CD+CB两部分．这是同学们不容易找出的地方，其次，就是哪一部分是15，哪一部分是12题目中并没有明确指出，所以在具体解答时，就要分两种情形求解．即AB+AD=15且CD+CB=12与AB+AD=12且CD+CB=15．设AB=2x，BC=y，则AD=CD=x，所以 或 ，解得 或 ，所以当x=5时，等腰三角形的腰长为10、10、底边长为7，此时这样的三角形是存在的，所以等腰三角形的底边长为7；当x=4时，等腰三角形的腰长为8、8、底边长为11，此时这样的三角形是存在的，所以等腰三角形的底边长为11．综上所述，等腰三角形的底边长为7或11. 解：选D，． 点评：注意在求出三角形的三边长后，一定要利用三角形的三边关系定理，核实三角形的是否存在，不能解后就急于作答． 二、一腰的垂直平分线与另一腰相交，求底角 例2在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度． 分析：当等腰三角形ABC是等腰直角三角形时，一腰上的垂直平分线与另一腰是平行的，与已知是相交的矛盾，所以不可能是等腰直角三角形．在排除这种情况下，我们还需要分这个等腰三角形是锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形求解．如图2-1所示，当等腰三角形是锐角等腰三角形时， 因为AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠AED=50°，∠EDA=90°， 所以∠A=40°．因为AB=AC，所以∠B=∠C=70°； 如图2-2所示，当等腰三角形是锐角等腰三角形时，因为AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，所以需要延长CA，交点为点F，则∠AFD=50°，∠FDA=90°，所以∠DAF=40°．因为AB=AC，所以∠B=∠C