点击等边三角形试题解题技巧

点击等边三角形试题解题技巧 在中考数学中，以等边三角形为载体的试题屡见不鲜。这类试题灵活多样，趣味性强。下面就等边三角形试题常用解题方法作一总结，希望能给同学们以启迪。 1、以等边三角形为载体进行尺规作图 例1如图1所示， 是等边三角形， 点是 的中点，延长 到 ，使 ， （1）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足是 （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： ． 分析：这里同学们用到如下两个重要知识点： ①经过直线外一点作已知直线的垂线。②等腰三角形的三线合一的性质。 解：（1）作图如图2所示， （2）因为ΔABC是等边三角形，D是AC的中点， 所以BD平分∠ABC（三线合一），所以∠ABC=2∠DBE。 因为CE=CD，所以∠CED=∠CDE。 因为∠ACB是三角形CDE的一个外角，所以∠ACB=∠CED+∠CDE。 所以∠ACB=2∠CED。因为三角形ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB， 所以2∠DBE=2∠CED，即∠DBE=∠CED，所以BD=ED。 因为DM⊥BE， 所以BM=EM。 2、以等边三角形为载体构作新等边三角形 例2如图3所示，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D， 以AD为一边向右作正三角形ADE。 （1）求ΔABC的面积S； （2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。 分析：要想求三角形ABC的面积，只要求得AD的长即可。 根据三角形的内角和定理或等腰三角形的三线合一可以证明AC与DE是互相垂直的。 解：（1）因为三角形ABC等边三角形，且AD⊥BC，所以BC=AB=4，BD=DC= BC=2。 在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得： AD= 2 。所以 。 （2）AC、DE的位置关系是：AC⊥DE。 因为三角形ABC等边三角形，且AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC=30°。 因为三角形ADE等边三角形，所以∠ADE=60°。 在三角形ADF中，∠AFD=180°-∠DAC-∠ADE=180°-30°-60°=90°。 所以AC⊥DE。 点评：此题还有其它的证明方法，请同学们自己动手加以证明吧。 3、以等边三角形为载体求两个三角形的面积之比 例3如图4所示，在正三角形 中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于（ ） A．1∶3 B．