2020高考数学（理）（课标II）大一轮复习（PDF版教师用书）：第十一章 计数原理 (2份打包)

第十一章 计数原理 真题多维细目表 考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养 ２０１７ 课标全国Ⅱ，６ ５ 分 选择题 中 排列、组合 分组、分配 公式法 数学建模 ２０１６ 课标全国Ⅱ，５ ５ 分 选择题 中 排列、组合 计数原理 定义法 数学建模 ２０１５ 课标全国Ⅱ，１５ ５ 分 填空题 中 二项式定理 项的系数和 赋值法 数学运算 命题规律与趋势 ０１ 考查内容 １．排列、组合与计数原理的综合运用． ２．二项式定理：二项展开式的通项公式及 其系数和． ０２ 考频赋分 一道选择题或填空题，分值为 ５ 分．或与统 计案例结合出现在解答题中． ０３ 题型难度 选择、填空题难度中等，解答题难度中等偏上． ０４ 解题方法 排列、组合：直接法，间接法；二项式定理： 公式法、赋值法． ０５ 核心素养 数学运算、数学抽象． ０６ 命题趋势 高考对本章的考查比较稳定，坚持一小一 大的原则，小题主要考查排列、组合或二项 式定理，大题主要考查排列、组合与概率统 计的综合应用． ０５ 备考建议 高考对本章内容的考查以中档题、容易题 为主，只要立足基础、重视教材、掌握基本 概念和相关公式即可．预测在 ２０２０ 年高考 中题型及其难度均不会有很大变化． 最新真题示例 １２４　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书） § １１．１　 排列、组合 对应学生用书起始页码 Ｐ２１１ 考 点 排列、组合 　 　 １．计数原理 （１）分类加法计数原理 完成一件事有 ｎ 类不同的方案，在第一类方案中有 ｍ１ 种不 同的方法，在第二类方案中有 ｍ２ 种不同的方法，……，在第 ｎ 类 方案中有 ｍｎ 种不同的方法，则完成这件事情共有 Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋… ＋ｍｎ 种不同的方法． （２）分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 ｎ 个不同的步骤，完成第一步有 ｍ１ 种不同的方法，完成第二步有 ｍ２ 种不同的方法，……，完成第 ｎ 步有 ｍｎ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 Ｎ ＝ｍ１·ｍ２·… ·ｍｎ 种不同的方法． （３）两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理都涉及完成一件事 情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分 类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这 件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有 各个步骤都完成了，这件事才算完成． ２．排列与组合 （１）排列与组合的区别 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即 排列问题与选取元素的顺序有关 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即 组合问题与选取元素的顺序无关 　 　 （２）排列与组合的性质 公式 （１）Ａｍｎ ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１）＝ ｎ！ （ｎ－ｍ）！ ． （２）Ｃｍｎ ＝ Ａｍｎ Ａｍｍ ＝ ｎ（ｎ －１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１） ｍ！ ＝ ｎ！ ｍ！ （ｎ－ｍ）！ （ｎ，ｍ∈Ｎ＋，且 ｍ≤ｎ） ．特别地，Ｃ０ｎ ＝ １ 性质 （１）①０！ ＝ １；②Ａｎｎ ＝ｎ！． （２）①Ｃｍｎ ＝Ｃ ｎ－ｍ ｎ ；②Ｃ ｍ ｎ＋１ ＝Ｃ ｍ ｎ ＋Ｃ ｍ－１ ｎ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ２１２ 一、排列问题 　 　 对于排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素 开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题，常用 “捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”；对于“在与不在”的 问题，常常使用“直接法”或“排除法” ． 有 ４ 名男生、５ 名女生，全体排成一行，下列情形各有 多少种不同的排法？ （１）甲不在中间也不在两端； （２）甲、乙两人必须排在两端； （３）男女相间排列． 解析　 （１）解法一：元素分析法．先排甲有 ６ 种排法，再排 其余人有 Ａ８８ 种排法，故共有 ６·Ａ８８ ＝ ２４１ ９２０ 种排法． 解法二：位置分析法．中间和两端有 Ａ３８ 种排法，包括甲在内 的其余 ６ 人有 Ａ６６ 种排法，故共有 Ａ３８·Ａ６６ ＝ ３３６×７２０ ＝ ２４１ ９２０ 种 排法． 解法三：等机会法．９ 个人全排列有 Ａ９９ 种排法，甲排在每一 个位置的机会都是均等的，则甲不在中间及两端的排法总数是 Ａ９９× ６ ９ ＝ ２４１ ９２０． 解法四：间接法．９ 个人全排列减去甲排在中间和两端的情 况，即 Ａ９９－３·Ａ８８ ＝ ６Ａ８８ ＝ ２４１ ９２０（种） ． （２）先排甲、乙，再排其余 ７ 人． 共有 Ａ２２·Ａ７７ ＝ １０ ０８０ 种排法． （３）插空法．先排 ４ 名男生有 Ａ４４ 种排法，再将 ５ 名女生插 空，有 Ａ５５ 种排法，故共有 Ａ