2020版数学高分突破大一轮北京专用（PDF教师用书）：第二章 函数的概念与基本初等函数 (7份打包)

第二章　 函数的概念与基本初等函数 １７　　　 § ２.１　 函数的概念及其表示 对应学生用书起始页码 Ｐ１３ 考点一 函数的概念及其表示 　 　 １.函数的定义 设 Ａ、Ｂ 是非空的数集ꎬ如果按照某种确定的对应关系 ｆꎬ使 对于集合 Ａ 中的任意一个数 ｘꎬ在集合 Ｂ 中都有唯一确定的数 ｆ(ｘ)和它对应ꎬ那么就称 ｆ:Ａ→Ｂ 为从集合 Ａ 到集合 Ｂ 的一个函 数ꎬ记作 ｙ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ. ２.(１)函数的定义域、值域 在函数 ｙ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ中ꎬｘ 叫做自变量ꎬｘ 的取值范围 Ａ 叫做函 数的定义域ꎻ与 ｘ 的值相对应的 ｙ 值叫做函数值ꎬ函数值的集合 {ｆ(ｘ) ｜ｘ∈Ａ}叫做函数的值域ꎬ显然ꎬ值域是集合 Ｂ 的子集. (２)函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 考点二 分段函数 　 　 若函数在其定义域的不同子集上ꎬ因对应关系不同而分别 用几个不同的式子来表示ꎬ这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集ꎬ其值域 等于各段函数的值域的并集ꎬ分段函数虽由几个部分组成ꎬ但它 表示的是一个函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ１４ 一、函数定义域的求解方法 　 　 １.求具体函数的定义域ꎬ一般在高中范围内涉及的有: (１)开偶次方时被开方数为非负数ꎻ (２)分式的分母不为零ꎻ (３)零次幂的底数不为零ꎻ (４)对数的真数大于零ꎻ (５)指数、对数的底数大于零且不等于 １ꎻ (６)实际问题需要考虑使题目本身有意义. ２.求复合函数的定义域一般有两种情况: (１)已知 ｙ＝ ｆ(ｘ)的定义域是 Ａꎬ求 ｙ＝ ｆ[ｇ( ｘ)]的定义域ꎬ可 由 ｇ(ｘ)∈Ａ 求出 ｘ 的范围ꎬ即为 ｙ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域ꎻ (２)已知 ｙ＝ ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域是 Ａꎬ求 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的定义域ꎬ可 由 ｘ∈Ａ 求 ｇ(ｘ)的范围(即 ｙ ＝ ｇ( ｘ)的值域)ꎬ即为 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的定 义域. (１)函数 ｆ(ｘ)＝ ｌｇ(ｘ＋１) ｘ－１ 的定义域是 (　 　 ) Ａ.(－１ꎬ＋∞ ) Ｂ.[－１ꎬ＋∞ ) Ｃ.(－１ꎬ１)∪(１ꎬ＋∞ ) Ｄ.[－１ꎬ１)∪(１ꎬ＋∞ ) (２)已知函数 ｆ(ｘ)的定义域为(－１ꎬ０)ꎬ则函数 ｆ(２ｘ＋１)的 定义域为 (　 　 ) Ａ.(－１ꎬ１) Ｂ. －１ꎬ－ １ ２( ) Ｃ.(－１ꎬ０) Ｄ. １ ２ ꎬ１( ) 解析　 (１)要使函数 ｆ(ｘ)＝ ｌｇ(ｘ＋１) ｘ－１ 有意义ꎬ需满足 ｘ＋１> ０ 且 ｘ－１≠０ꎬ得 ｘ>－１ 且 ｘ≠１ꎬ故选 Ｃ. (２)由已知得 － １ < ２ｘ ＋ １ < ０ꎬ解得 － １ < ｘ < － １ ２ ꎬ所以函数 ｆ(２ｘ＋１)的定义域为 －１ꎬ－ １ ２( ) ꎬ选 Ｂ. 答案　 (１)Ｃ　 (２)Ｂ 　 　 １－１　 函数 ｆ(ｘ)＝ １ (ｌｏｇ２ｘ) ２－１ 的定义域为 (　 　 ) Ａ. ０ꎬ １ ２( ) Ｂ.(２ꎬ＋∞ ) Ｃ. ０ꎬ １ ２( ) ∪(２ꎬ＋∞ ) Ｄ. ０ꎬ １ ２( ] ∪[２ꎬ＋∞ ) １－１ 答案　 Ｃ 解析　 要使函数 ｆ ( ｘ) 有意义ꎬ需使 ( ｌｏｇ２ｘ) ２ － １ > ０ꎬ即 (ｌｏｇ２ｘ) ２>１ꎬ∴ ｌｏｇ２ｘ>１ 或 ｌｏｇ２ｘ<－１.解之得 ｘ>２ 或 ０<ｘ< １ ２ .故 ｆ(ｘ)的定义域为 ０ꎬ １ ２( ) ∪(２ꎬ＋∞ ) . 　 　 １－２　 函数 ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１]ꎬ则函数 ｆ ｌｇ ｘ２＋ｘ ２( ) 的定 义域为 (　 　 ) Ａ.[－５ꎬ４] Ｂ.[－５ꎬ－２) Ｃ.[－５ꎬ－２]∪[１ꎬ４] Ｄ.[－５ꎬ－２)∪(１ꎬ４] １－２ 答案　 Ｄ 解析　 ∵ 函数 ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１]ꎬ∴ ０<ｌｇ ｘ２＋ｘ ２ ≤１ꎬ即 １< ｘ２＋ｘ ２ ≤１０ꎬ则－５≤ｘ<－２ 或 １<ｘ≤４ꎬ故选 Ｄ. 　 　 １－３　 函数 ｆ(ｘ)＝ ２ｘ－２的定义域为　 　 　 　 . １－３ 答案　 [１ꎬ＋∞ ) 解析　 由 ２ｘ－２≥０ꎬ解得 ｘ≥１ꎬ故定义域为[１ꎬ＋∞ ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二、函数解析式的求解方法 　 　 １.待定系数法:若已知 ｆ(ｘ)的解析式的类型ꎬ设出它的一般 形式ꎬ根据特殊值ꎬ确定相关的系数即可. ２.赋值法:给变量赋予某些特殊值ꎬ从而求出函数解析式. ３.解方程组法:利用已给定的关系式ꎬ构造出一个新的关系 式ꎬ通过解关于 ｆ(ｘ)的方程组求出 ｆ(ｘ) . ４.配凑法:对 ｆ( ｇ( ｘ))的