2020版数学高分突破大一轮江苏专用（课件+PDF教师用书）：第十七章 简单的复合函数的导数 (共2份打包)

１３２　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书） 第十七章 简单的复合函数的导数 对应学生用书起始页码 Ｐ３７８ 考 点 简单的复合函数的导数 　 　 １．复合函数的概念 对于两个函数 ｙ ＝ ｆ（ｕ）和 ｕ ＝ ｇ（ ｘ），如果通过变量 ｕ，ｙ 可以 表示成 ｘ 的函数，那么称这个函数为 ｙ ＝ ｆ（ｕ）和 ｕ ＝ ｇ（ ｘ）的复合 函数，记作 ｙ＝ ｆ（ｇ（ｘ）） ． ２．复合函数的求导法则 复合函数 ｙ＝ ｆ（ｇ（ ｘ））的导数和函数 ｙ ＝ ｆ（ｕ），ｕ ＝ ｇ（ ｘ）的导 数间的关系为 ｙ′ｘ ＝ ｙ′ｕ·ｕ′ｘ，即 ｙ 对 ｘ 的导数等于 ｙ 对 ｕ 的导数与 ｕ 对 ｘ 的导数的乘积． 如：求函数 ｙ＝（３ｘ－２） ２ 的导数，我们就可以有，令 ｙ ＝ ｕ２，ｕ ＝ ３ｘ－２，则 ｙ′ｕ ＝ ２ｕ，ｕ′ｘ ＝ ３，从而 ｙ′ｘ ＝ ｙ′ｕ·ｕ′ｘ ＝ １８ｘ－１２．结果与我们利 用导数的四则运算法则求得的结论完全一致． 在书写时不要把 ｆ ′ｘ［φ（ｘ）］写成 ｆ ′［φ（ ｘ）］，两者是不完全 一样的，前者表示对自变量 ｘ 的求导，而后者是对中间变量φ（ｘ） 的求导． ３．复合函数求导步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ３７８ 运用导数求解含参复合函数问题的方法 　 　 １．利用导数研究含参复合函数的零点、极值、恒成立问题； ２．探究、证明与自然数有关的不等式，利用导数、复合函数 的性质，适当地放缩，与二项式定理和数学归纳法联系，证明不 等式． 设 ｂ＞０，函数 ｆ（ｘ）＝ １ ２ａｂ （ａｘ＋１） ２－ １ ｂ ｘ＋ １ ｂ ｌｎ ｂｘ，记Ｆ（ｘ） ＝ ｆ ′（ｘ）（ ｆ ′（ｘ）是函数 ｆ（ｘ）的导函数），且当 ｘ ＝ １ 时，Ｆ（ｘ）取得 极小值 ２． （１）求函数 Ｆ（ｘ）的单调增区间； （２）证明： ｜ ［Ｆ（ｘ）］ ｎ ｜ － ｜Ｆ（ｘｎ） ｜≥２ｎ－２（ｎ∈Ｎ∗） ． 解析　 （１）由题意知 Ｆ（ｘ）＝ ｆ ′（ ｘ）＝ １ ２ａｂ ·２（ａｘ＋１）·ａ－ １ ｂ ＋ １ ｂｘ ＝ １ ｂ ａｘ＋ １ ｘ( ) ，ｘ＞０． 于是 Ｆ′（ｘ）＝ １ ｂ ａ－ １ ｘ２ æ è ç ö ø ÷ ， 若 ａ＜０，则 Ｆ′（ ｘ） ＜０，在（０，＋∞ ）上单调递减，与 Ｆ（ ｘ）有极 小值矛盾，所以 ａ＞０． 令 Ｆ′（ｘ）＝ ０，因为 ｘ＞０，所以当且仅当 ｘ ＝ １ ａ 时，Ｆ（ ｘ）取得 极小值 ２， 所以 １ ａ ＝ １， １ ｂ （ａ＋１）＝ ２， ì î í ï ï ï ï 解得 ａ＝ ｂ＝ １． 故 Ｆ（ｘ）＝ ｘ＋ １ ｘ ，Ｆ′（ｘ）＝ １－ １ ｘ２ （ｘ＞０） ． 由 Ｆ′（ｘ）＞０，得 ｘ＞１，所以 Ｆ（ｘ）的单调增区间为（１，＋∞ ） ． （２）证明：记 ｇ（ｘ）＝ ｜ ［Ｆ（ｘ）］ ｎ ｜ － ｜Ｆ（ｘｎ） ｜ ． 因为 ｘ＞０，所以 Ｆ（ ｘ） ＞ ０，所以 ｇ（ ｘ） ＝ ［Ｆ（ｘ）］ ｎ －Ｆ（ ｘｎ ） ＝ ｘ＋ １ ｘ( ) ｎ － ｘｎ＋ １ ｘｎ æ è ç ö ø ÷ ＝Ｃ１ｎｘｎ －１· １ ｘ ＋Ｃ２ｎｘｎ －２· １ ｘ２ ＋Ｃ３ｎｘｎ －３· １ ｘ３ ＋…＋ Ｃｎ－１ｎ ｘ· １ ｘｎ－１ ． 因为 Ｃｒｎｘｎ －ｒ· １ ｘｒ ＋Ｃｎ－ｒｎ ｘｒ· １ ｘｎ－ｒ ≥２Ｃｒｎ（ ｒ＝ １，２，…，ｎ－１）， 所以 ２ｇ（ｘ）≥２（Ｃ１ｎ＋Ｃ２ｎ＋Ｃ３ｎ＋…＋Ｃｎ －１ ｎ ）＝ ２（２ｎ－２） ． 故 ｜ ［Ｆ（ｘ）］ ｎ ｜ － ｜Ｆ（ｘｎ） ｜≥２ｎ－２（ｎ∈Ｎ∗） ． 　 　 １－１　 如果实数 ｘ，ｙ，ｚ 满足 ｜ ｘ－ ｔ ｜ ≤ ｜ ｙ－ ｔ ｜ ，那么称 ｘ 比 ｙ 更 接近 ｔ． （１）若 ａ ｜ ａ ｜比 ａ 更接近 １，求实数 ａ 的取值范围； （２）若 ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ－１ ｘ＋１ ，求证：∑ ｎ ｋ ＝ ２ ｆ（ｋ）（ｋ∈Ｚ）比 ２－ｎ－ｎ２ ２ｎ（ｎ＋１） 更 接近 ０． １－１ 解析　 （１）由题意知 ｜ ａ ｜ ａ ｜ －１ ｜≤ ｜ ａ－１ ｜ ， 当 ０＜ａ＜１ 时， ｜ ａ２－１ ｜≤ ｜ ａ－１ ｜ ，则 １－ａ２≤１－ａ，解得 ａ≥１ 或 ａ≤０，舍去； 当 ａ≥１ 时，ａ２－１≤ａ－１，解得 ０≤ａ≤１，所以 ａ＝ １； 当 ａ≤０ 时，ａ２＋１≤１－ａ，解得－１≤ａ≤０． 综上，实数 ａ 的取值范围是｛ａ ｜ －１≤ａ≤０ 或 ａ＝ １｝ ． （４ 分） （２）证明：因为 ∑ ｎ ｋ ＝ ２ ｆ（ ｋ）＝ ｌｎ １ ３ ＋ｌｎ ２ ４ ＋ｌｎ ３ ５ ＋…＋ｌｎ ｎ－１ ｎ＋１ ＝ ｌｎ ２ ｎ（ｎ＋１） ， 所以 ∑ ｎ ｋ ＝ ２