2020版数学高分突破大一轮江苏专用（课件+PDF教师用书）：第十五章 圆锥曲线与方程 (共2份打包)

１２２　　 ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（教师用书） 第十五章 圆锥曲线与方程 对应学生用书起始页码 Ｐ３６１ 考点一 曲线与方程 　 　 １．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 Ｃ 上的点与一个 二元方程 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０ 的实数解建立了如下关系： （１）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （２）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线． 曲线既可以看成符合某种条件的点的集合，又可以看成满 足某种条件的动点运动的轨迹，因此，这类问题有时也叫做轨迹 问题． ２．求轨迹方程的常用方法 （１）直接法：直接利用条件建立 ｘ，ｙ 之间的关系 Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０； （２）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程———先 根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； （３）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线， 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； （４）相关点法：动点 Ｐ（ｘ，ｙ） 随另一动点 Ｑ（ｘ０ ，ｙ０ ） 的变化而 变化，并且 Ｑ（ｘ０ ，ｙ０ ）又在某已知曲线上，则可先用 ｘ，ｙ 的代数式 表示 ｘ０ ，ｙ０ ，再将点 Ｑ（ｘ０ ，ｙ０ ）代入已知曲线得要求的轨迹方程； （５）参数法：当动点 Ｐ（ｘ，ｙ）坐标之间的关系不易直接找到， 也没有相关动点可用时，可考虑将 ｘ，ｙ 均用一中间变量（ 参数） 表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． ３．曲线的交点 两曲线 Ｃ１ ：ｆ１（ｘ，ｙ）＝ ０ 与 Ｃ２ ：ｆ２（ｘ，ｙ）＝ ０ 的公共点坐标是方 程组 ｆ１（ｘ，ｙ）＝ ０， ｆ２（ｘ，ｙ）＝ ０ { 的解，方程组有几个解，两曲线就有几个公共 点；若方程组无解，两曲线就没有公共点． ４．判断直线 ｌ 与圆锥曲线 τ 的位置关系时，通常将直线 ｌ 的 方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０（Ａ、Ｂ 不同时为 ０）代入圆锥曲线 τ 的方程Ｆ（ｘ， ｙ）＝ ０．消去 ｙ（也可以消去 ｘ） 得到一个关于变量 ｘ（ 或变量 ｙ） 的 方程，即 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０， Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，{ 消去 ｙ（或 ｘ）后得 ａｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ ＝ ０（ 或 ａ１ｙ ２ ＋ ｂ１ｙ＋ｃ１ ＝ ０）． （１）当 ａ≠０ 时，若 Δ＞０，则直线 ｌ 与曲线 τ 相交；若 Δ ＝ ０，则 直线 ｌ 与曲线 τ 相切；若 Δ＜０，则直线 ｌ 与曲线 τ 相离． （２）当 ａ ＝ ０ 时，即得到一个一次方程，则 ｌ 与 τ 相交，且只有 一个交点，此时，若 τ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的渐近线平 行；若 τ 为 抛 物 线， 则 直 线 ｌ 与 抛 物 线 的 对 称 轴 的 位 置 关 系 是平行或重合． ５．连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 已知直线 ｌ：ｆ（ｘ，ｙ） ＝ ０，曲线 τ：Ｆ（ｘ，ｙ） ＝ ０，ｌ 与 τ 的两个不 同的交点 Ａ（ ｘ１ ，ｙ１ ），Ｂ（ ｘ２ ，ｙ２ ），则（ ｘ１ ，ｙ１ ），（ ｘ２ ，ｙ２ ） 是方程组 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０， Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０{ 的两个解．方程组消元后化为关于 ｘ（或者 ｙ） 的一元 二次方程 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ ＝ ０（ａ≠０），判别式 Δ ＝ ｂ２ －４ａｃ，应有 Δ＞０，所 以 ｘ１ 、ｘ２ 是方程 Ａｘ ２ ＋Ｂｘ＋Ｃ ＝ ０ 的解．由根与系数的关系（ 韦达定 理）得 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ｂ ａ ， ｘ１ｘ２ ＝ ｃ ａ ． 所 以 Ａ、 Ｂ 两 点 间 距 离 ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ｋ２ ｜ ｘ１ －ｘ２ ｜ ，即弦长公式，也可以写成关于 ｙ 的形式，其弦长 公式为 ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ １ ｋ２ ｜ ｙ１ －ｙ２ ｜ （ｋ≠０）． 考点二 抛物线的综合应用 高频考点 　 　 以抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）为例，设 ＡＢ 是抛物线的过焦点的一 条弦（焦点弦），Ｆ 是抛物线的焦点，Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ），Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ），Ａ、Ｂ 在 准线上的射影为 Ａ１ 、Ｂ１ ，则有以下结论： （１）ｘ１ｘ２ ＝ ｐ２ ４ ，ｙ１ｙ２ ＝ －ｐ ２ ； （２）若直线 ＡＢ 的倾斜角为 θ，且 Ａ 位于 ｘ 轴上方，Ｂ 位于 ｘ 轴下方，则 ｜ ＡＦ ｜ ＝ ｐ １－ｃｏｓ θ ， ｜ ＢＦ ｜ ＝ ｐ １＋ｃｏｓ θ ； （３） ｜ ＡＢ ｜ ＝ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｐ ＝ ２ｐ ｓｉｎ２θ （其中 θ 为直线 ＡＢ 的倾斜角），抛 物线的通径长为 ２ｐ，通径是最短的焦点弦； （４）Ｓ△ＡＯＢ ＝ ｐ２ ２ｓｉｎ θ （其中 θ 为直线 ＡＢ 的倾斜角）； （５） １ ｜ ＡＦ ｜ ＋ １ ｜ ＢＦ ｜ ＝ ２ ｐ 为定值； （６）以 ＡＢ 为直径的圆与抛物线的准线相切； （７）以 ＡＦ（或 Ｂ