2020版数学高分突破大一轮江苏专用（课件+PDF教师用书）：第二十章 概率统计 (共4份打包)

１４４　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书） 第二十章 概率统计 § ２０．１　 离散型随机变量及其分布列、均值和方差 对应学生用书起始页码 Ｐ３９７ 考点一 随机变量及其分布列、超几何分布 　 　 １．离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量 Ｘ 可能取的不同值为 ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，Ｘ 取 每一个值 ｘｉ（ ｉ＝ １，２，…，ｎ）的概率 Ｐ（Ｘ＝ ｘｉ）＝ ｐｉ，则称表 Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｉ … ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｉ … ｐｎ 为离散型随机变量 Ｘ 的概率分布列，简称 Ｘ 的分布列，具有 性质： ①ｐｉ≥０，ｉ＝ １，２，…，ｎ； ②ｐ１＋ｐ２＋…＋ｐｉ＋…＋ｐｎ ＝ １． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率之和． ２．两点分布 如果随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｘ １ ０ Ｐ ｐ ｑ 　 　 其中 ０＜ｐ＜１，ｑ ＝ １－ｐ，则称离散型随机变量 Ｘ 服从参数为 ｐ 的两点分布． ３．超几何分布列 在含有 Ｍ 件次品的 Ｎ 件产品中，任取 ｎ 件，其中含有 Ｘ 件 次品， 则 事 件 ｛ Ｘ ＝ ｋ ｝ 发 生 的 概 率 为 Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ） ＝ ＣｋＭ·Ｃｎ －ｋ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ （ｋ＝ ０，１，２，…，ｍ），其中 ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，ｎ｝，且 ｎ≤Ｎ，Ｍ≤ Ｎ，ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ∗，称分布列 Ｘ ０ １ … ｍ Ｐ Ｃ０ＭＣ ｎ－０ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ Ｃ１ＭＣ ｎ－１ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ … ＣｍＭＣ ｎ－ｍ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ 为超几何分布列． 考点二 离散型随机变量的均值与方差 　 　 １．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｉ … ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｉ … ｐｎ 　 　 （ ｉ＝ １，２，…，ｎ） （１）均值 称 ＥＸ＝ ｘ１ｐ１＋ｘ２ｐ２＋…＋ｘｉｐｉ＋…＋ｘｎｐｎ 为随机变量 Ｘ 的均值或 数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （２）方差 称 ＤＸ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ－ＥＸ） ２ｐｉ为随机变量 Ｘ 的方差，它刻画了随 机变量 Ｘ 与其均值 ＥＸ 的平均偏离程度，其算术平方根 ＤＸ为 随机变量 Ｘ 的标准差，记作 σＸ． 注：Ｄ（ξ）＝ Ｅξ２－（Ｅξ） ２，由 ξ 的分布列唯一确定． ２．均值与方差的性质 （１）Ｅ（ａＸ＋ｂ）＝ ａＥＸ＋ｂ（ａ，ｂ 为实数） ． （２）Ｄ（ａＸ＋ｂ）＝ ａ２ＤＸ（ａ，ｂ 为实数） ． ３．两点分布与二项分布的均值、方差 （１）若 Ｘ 服从两点分布，则 ＥＸ＝ ｐ，ＤＸ＝ ｐ（１－ｐ） ． （２）若 Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ），则 ＥＸ＝ｎｐ，ＤＸ＝ｎｐ（１－ｐ） ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ３９７ 求离散型随机变量的分布列和均值 　 　 求离散型随机变量 ξ 的分布列与均值的方法： （１）理解离散型随机变量 ξ 的意义，写出 ξ 的所有可能 取值； （２）求 ξ 取每个值的概率； （３）写出 ξ 的分布列； （４）根据均值的定义求 Ｅξ． 注意：如果 ξ～Ｂ（ｎ，ｐ），可用公式 Ｅξ＝ｎｐ 求解均值． （２０１８ 南菁高级中学最后一卷，２２）一种抛硬币游戏的 规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得 １ 分，反面向上得 ２ 分． （１）设抛掷 ５ 次的得分为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望 Ｅξ； （２）求恰好得到 ｎ（ｎ∈Ｎ∗）分的概率． 解析　 （１）易知，ξ 的所有可能取值为 ５，６，７，８，９，１０，且 Ｐ（ξ＝ ｉ）＝ Ｃｉ－５５ １ ２( ) ５ （ ｉ＝ ５，６，７，８，９，１０）， 所以 ξ 的分布列为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二十章　 概率统计 １４５　　 ξ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｐ １ ３２ ５ ３２ ５ １６ ５ １６ ５ ３２ １ ３２ 　 　 Ｅξ＝ ∑ １０ ｉ ＝ ５ ｉ·Ｃｉ－５５ １ ２( ) ５ ＝ １５ ２ （分） ． （２）令 ｐｎ 表示恰好得到 ｎ 分的概率．显然 ｐ１ ＝ １ ２ ，当 ｎ≥２ 时，不出现 ｎ 分的唯一情况是得到（ｎ－１）分以后再掷出一次反 面．因为“不出现 ｎ 分”的概率是 １－ｐｎ，“恰好得到（ｎ－１）分”的概 率是 ｐｎ－１，“掷一次出现反面”的概率是 １ ２ ，所以有 １－ｐｎ ＝ １ ２ ｐｎ－１， 即 ｐｎ－ ２ ３ ＝ － １ ２ ｐｎ－１－ ２ ３( ) （ｎ≥２） ． 于是 ｐｎ－ ２ ３{ } 是以 ｐ１ － ２ ３ ＝ １ ２ － ２ ３ ＝ － １ ６ 为首项，－ １ ２ 为公 比的等比数列．