2020版数学高分突破大一轮天津专用（课件+PDF教师用书）：第十一章　计数原理 (共4份打包)

第十一章　 计数原理 １０５　　 第十一章 计数原理 § １１.１　 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 对应学生用书起始页码 Ｐ２１２ 考点一 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 高频考点 　 　 １.分类加法计数原理 完成一件事有 ｎ 类不同的方案ꎬ在第一类方案中有 ｍ１ 种不 同的方法ꎬ在第二类方案中有 ｍ２ 种不同的方法ꎬ􀆺􀆺ꎬ在第 ｎ 类 方案中有 ｍｎ 种不同的方法ꎬ则完成这件事情共有 Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋􀆺 ＋ｍｎ 种不同的方法. ２.分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 ｎ 个不同的步骤ꎬ完成第一步有 ｍ１ 种不同的方法ꎬ完成第二步有 ｍ２ 种不同的方法ꎬ􀆺􀆺ꎬ完成第 ｎ 步有 ｍｎ 种不同的方法ꎬ那么完成这件事情共有 Ｎ ＝ｍ１􀅰ｍ２􀅰􀆺 􀅰ｍｎ 种不同的方法. ３.两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理都涉及完成一件事 情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分 类有关ꎬ各种方法相互独立ꎬ用其中的任一种方法都可以完成这 件事ꎻ分步乘法计数原理与分步有关ꎬ各个步骤相互依存ꎬ只有 各个步骤都完成ꎬ这件事才算完成. 考点二 排列与组合 　 　 １.排列、组合的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响ꎬ则是排列问题ꎬ即 排列问题与选取元素的顺序有关 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响ꎬ则是组合问题ꎬ即 组合问题与选取元素的顺序无关 　 　 ２.排列数、组合数的公式及性质 公式 (１)Ａｍｎ ＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)􀆺(ｎ－ｍ＋１)＝ ｎ! (ｎ－ｍ)! ꎻ (２)Ｃｍｎ ＝ Ａｍｎ Ａｍｍ ＝ ｎ(ｎ －１)(ｎ－２)􀆺(ｎ－ｍ＋１) ｍ! ＝ ｎ! ｍ! (ｎ－ｍ)! (ｎꎬｍ∈Ｎ∗ꎬ且 ｍ≤ｎ) .特别地ꎬＣ０ｎ ＝ １ 性质 (１)０! ＝ １ꎻ(２)Ａｎｎ ＝ｎ!ꎻ (３)Ｃｍｎ ＝Ｃ ｎ－ｍ ｎ ꎻ(４)Ｃ ｍ ｎ＋１ ＝Ｃ ｍ ｎ ＋Ｃ ｍ－１ ｎ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ２１２ 一、排列问题的解题方法 　 　 常见的解题策略有以下几种: (１)特殊元素优先安排的策略ꎻ (２)合理分类与准确分步的策略ꎻ (３)正难则反、等价转化的策略ꎻ (４)相邻问题捆绑处理的策略ꎻ (５)不相邻问题插空处理的策略ꎻ (６)定序问题除法处理的策略ꎻ (７)分排问题直排处理的策略ꎻ (８)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略ꎻ (９)构造模型的策略. 有 ３ 名男生ꎬ４ 名女生ꎬ在下列不同要求下ꎬ求不同的 排列方法种数. (１)选其中 ５ 人排成一排ꎻ (２)排成前后两排ꎬ前排 ３ 人ꎬ后排 ４ 人ꎻ (３)全体排成一排ꎬ甲不站在排头也不站在排尾ꎻ (４)全体排成一排ꎬ女生必须站在一起ꎻ (５)全体排成一排ꎬ男生互不相邻. 解析　 (１)从 ７ 个人中选 ５ 个人来排列ꎬ有 Ａ５７ ＝ ７×６×５×４ ×３＝ ２ ５２０(种) . (２)分两步完成ꎬ先选 ３ 人排在前排ꎬ有 Ａ３７ 种方法ꎬ余下 ４ 人排在后排ꎬ有 Ａ４４ 种方法ꎬ故共有 Ａ３７􀅰Ａ４４ ＝ ５ ０４０(种) . (３)解法一(特殊元素优先法):甲为特殊元素ꎬ先排甲ꎬ有 ５ 种方法ꎻ其余 ６ 人有 Ａ６６ 种方法ꎬ故共有 ５×Ａ６６ ＝ ３ ６００(种) . 解法二(特殊位置优先法):首尾位置可安排另 ６ 人中的两 人ꎬ有 Ａ２６ 种排法ꎬ其余 ５ 人有 Ａ５５ 种排法ꎬ共有 Ａ２６Ａ５５ ＝ ３ ６００ (种) . (４)(捆绑法)将女生看成一个整体ꎬ与 ３ 名男生在一起进 行全排列ꎬ有 Ａ４４ 种方法ꎬ再将 ４ 名女生进行全排列ꎬ有 Ａ４４ 种方 法ꎬ故共有 Ａ４４×Ａ４４ ＝ ５７６(种) . (５)(插空法)男生互不相邻ꎬ而女生不作要求ꎬ∴ 应先排女 生ꎬ有 Ａ４４ 种方法ꎬ再在女生之间及首尾空出的 ５ 个空位中任选 ３ 个空位排男生ꎬ有 Ａ３５ 种方法ꎬ故共有 Ａ４４×Ａ３５ ＝ １ ４４０(种) . 　 　 １－１　 某班准备开班会ꎬ班长准备从含甲、乙的 ７ 人中选择 ４ 人发言ꎬ要求甲、乙两人至少有一人参加ꎬ当甲、乙同时参加时ꎬ 且他们发言的顺序不能相邻ꎬ则不同的发言顺序有 (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １０６　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版(教师用书) Ａ.７２０ 种 Ｂ.５２０ 种 Ｃ.６００ 种 Ｄ.３６０ 种 １－１ 答案　 Ｃ 解析　 分两类:第一类ꎬ甲、乙两人只有一人参加ꎬ则不同 的发言顺序有 Ｃ１２Ｃ３５Ａ４４ 种ꎻ 第二 类ꎬ 甲、 乙 同