2020版数学高分突破大一轮天津专用（课件+PDF教师用书）：第十章　圆锥曲线 (共10份打包)

８８　　　 ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版(教师用书) 第十章 圆锥曲线 § １０.１　 椭圆及其性质 对应学生用书起始页码 Ｐ１７４ 考点一 椭圆的定义和标准方程 高频考点 　 　 １.椭圆的定义 (１)椭圆的定义反映了平面内一动点 Ｐ 和两定点 Ｆ１ ꎬＦ２ 之 间的关系ꎬ即 ｜ ＰＦ１ ｜ ＋ ｜ ＰＦ２ ｜ ＝ ２ａ(ａ 为常数ꎬ且 ２ａ> ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ )ꎬ若动 点 Ｐ 满足此关系ꎬ则动点 Ｐ 在以 Ｆ１ ꎬＦ２ 为焦点的椭圆上ꎬ反之亦 成立. (２)在椭圆的定义中ꎬ若 ２ａ ＝ ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ꎬ则动点 Ｐ 的轨迹是线 段 Ｆ１Ｆ２ ꎻ若 ２ａ< ｜ Ｆ１Ｆ２ ｜ ꎬ则动点 Ｐ 的轨迹不存在. ２.椭圆的标准方程 (１)焦点在 ｘ 轴上: ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>ｂ>０)ꎻ 焦点在 ｙ 轴上: ｘ２ ｂ２ ＋ ｙ２ ａ２ ＝ １(ａ>ｂ>０). (２)统一方程: ｘ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝ １(ｍ>０ꎬｎ>０ꎬｍ≠ｎ)ꎬ由 ｍꎬｎ 的大小 来判断焦点在哪个坐标轴上. 若焦点位置不确定ꎬ则可设椭圆方程为 Ａｘ２ ＋Ｂｙ２ ＝ １(Ａ>０ꎬＢ >０ 且 Ａ≠Ｂ). 考点二 椭圆的几何性质 高频考点 　 　 １.椭圆的简单几何性质 焦点在 ｘ 轴上 焦点在 ｙ 轴上 标准方程 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>ｂ>０) ｘ２ ｂ２ ＋ ｙ２ ａ２ ＝ １(ａ>ｂ>０) 一般方程 Ａｘ２ ＋Ｂｙ２ ＝ １(Ａ>０ꎬＢ>０ꎬＡ≠Ｂ) 图形 焦点坐标 Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０) Ｆ１(０ꎬ－ｃ)ꎬＦ２(０ꎬｃ) 顶点坐标 Ａ１(－ａꎬ０)ꎬＡ２(ａꎬ０)ꎬ Ｂ１(０ꎬ－ｂ)ꎬＢ２(０ꎬｂ) Ａ１(０ꎬ－ａ)ꎬＡ２(０ꎬａ)ꎬ Ｂ１(－ｂꎬ０)ꎬＢ２(ｂꎬ０) 焦点 焦点位置看大小ꎬ焦点随着大的跑 长轴 长轴 Ａ１ Ａ２ ＝ ２ａꎬａ 是长半轴的长 短轴 短轴 Ｂ１ Ｂ２ ＝ ２ｂꎬｂ 是短半轴的长 焦距 焦距 Ｆ１ Ｆ２ ＝ ２ｃꎬｃ 是半焦距 范围 ｜ ｘ ｜ ≤ａꎬ｜ ｙ ｜ ≤ｂ ｜ ｘ ｜ ≤ｂꎬ｜ ｙ ｜ ≤ａ 离心率 ｅ＝ ｃ ａ ＝ １－ ｂ２ ａ２ (０<ｅ<１) ｅ 越接近 １ꎬ椭圆越扁ꎻｅ 越接近 ０ꎬ椭圆越圆 　 　 ２.点与椭圆的位置关系 已知点 Ｐ(ｘ０ ꎬｙ０ )ꎬ椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>ｂ>０)ꎬ则 (１)点 Ｐ(ｘ０ ꎬｙ０ )在椭圆内⇔ ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ <１ꎻ (２)点 Ｐ(ｘ０ ꎬｙ０ )在椭圆上⇔ ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＝ １ꎻ (３)点 Ｐ(ｘ０ ꎬｙ０ )在椭圆外⇔ ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ >１. 若已知点在椭圆上ꎬ则把点的坐标代入椭圆方程ꎬ可构造关 于一些量的等式ꎻ若已知点在椭圆内ꎬ则把点的坐标代入椭圆方 程ꎬ可构造关于一些量的不等式ꎬ进而可解决相关的取值范围或 最值问题. 　 　 １.如图ꎬ过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ｂ２ ａ ꎬ称为通径. ２.如图ꎬＰ 为椭圆上的点ꎬＦ１ꎬＦ２ 为椭圆的两个焦点ꎬ且 ∠Ｆ１ＰＦ２ ＝θꎬ则△Ｆ１ＰＦ２ 的面积为 ｂ ２􀅰ｔａｎ θ ２ . ３.椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>ｂ>０)与 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ｋ(ｋ>０)有相同的离 心率. ４.Ｐ 是椭圆上一点ꎬＦ 为椭圆的焦点ꎬ则 ｜ ＰＦ ｜ ∈[ａ－ｃꎬａ＋ ｃ]ꎬ即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 ａ＋ｃꎬ最小值为 ａ－ｃ. ５.设 ＰꎬＡꎬＢ 是椭圆上不同的三点ꎬ其中 ＡꎬＢ 关于原点对 称ꎬ则直线 ＰＡ 与 ＰＢ 的斜率之积为定值－ ｂ２ ａ２ (焦点在 ｘ 轴上). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第十章　 圆锥曲线 ８９　　　 ６.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系ꎬ例如ꎬ对于椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>ｂ>０)ꎬ有－ａ≤ｘ≤ａꎬ－ｂ≤ｙ≤ｂꎬ０<ｅ<１ 等ꎬ在求 与椭圆有关的一些量的范围或最值时ꎬ经常用到这些不等 关系. 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ１７５ 一、利用椭圆的定义解题的策略 　 　 １.以椭圆上一点和两焦点为顶点的三角形称为焦点三角 形ꎬ解决与此有关的问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理. ２.已知椭圆的焦点位置求方程中的参数时ꎬ应注意结合焦 点位置与椭圆方程形式的对应关系求解. (１)已知△ＡＢＣ 的顶点 ＢꎬＣ 在椭圆 ｘ２ ３ ＋ｙ２ ＝ １ 上ꎬ顶点 Ａ 是椭圆的一个焦点ꎬ且椭圆的另