2020版数学高分突破大一轮天津专用（课件+PDF教师用书）：第六章　数列 (共8份打包)

第六章　 数列 ５１　　　 第六章 数列 § ６.１　 数列的概念及其表示 对应学生用书起始页码 Ｐ９１ 考 点 数列的概念及表示方法 高频考点 　 　 １.通项公式 如果数列{ａｎ}的第 ｎ 项与序号 ｎ 之间的关系可以用一个式 子:ａｎ ＝ ｆ(ｎ)来表示ꎬ那么这个式子叫做这个数列的通项公式. ２.递推公式 如果已知数列{ａｎ}的第一项(或前几项)ꎬ且从第二项(或某 一项)开始任何一项 ａｎ 与它的前一项 ａｎ－１(或前几项)间的关系可 以用一个式子来表示ꎬ那么这个式子叫做数列{ａｎ}的递推公式. ３.数列的前 ｎ 项和 Ｓｎ 及 Ｓｎ 与通项 ａｎ 的关系 (１)Ｓｎ ＝ａ１＋ａ２＋􀆺＋ａｎꎻ (２)ａｎ ＝ Ｓ１(ｎ＝ １)ꎬ Ｓｎ－Ｓｎ－１(ｎ≥２) .{ ４.由递推公式求数列通项的常用方法 (１)形如 ａｎ＋１ ＝ ａｎ ＋ ｆ(ｎ)ꎬ常用累加法ꎬ即利用 ａｎ ＝ ａ１ ＋(ａ２ － ａ１)＋(ａ３－ａ２)＋􀆺＋(ａｎ－ａｎ－１)(ｎ≥２ꎬｎ∈Ｎ∗)求解. (２)形如 ａｎ＋１ ＝ａｎ􀅰ｆ(ｎ)ꎬ常用累乘法ꎬ即利用 ａｎ ＝ ａ１􀅰 ａ２ ａ１ 􀅰 ａ３ ａ２ 􀅰􀆺􀅰 ａｎ ａｎ－１ (ｎ≥２ꎬｎ∈Ｎ∗)求解. (３)形如 ａｎ＋１ ＝ ｂａｎ＋ｄ(ｂ≠１ꎬ０)ꎬ常用构造等比数列法. 对 ａｎ＋１ ＝ ｂａｎ＋ｄ 变形得 ａｎ＋１ ＋ｘ ＝ ｂ(ａｎ ＋ｘ) 其中 ｘ＝ ｄ ｂ－１( ) ꎬ则 {ａｎ＋ｘ}是公比为 ｂ 的等比数列ꎬ利用它可求出 ａｎ . (４)形如 ａｎ＋１ ＝ ｐａｎ ｑａｎ＋ｒ ( ｐꎬｑ≠０)ꎬ将其变形为 １ ａｎ＋１ ＝ ｒ ｐ 􀅰 １ ａｎ ＋ ｑ ｐ . 若 ｐ＝ ｒꎬ则 １ ａｎ{ } 是等差数列ꎬ且公差为 ｑ ｐ ꎬ可用等差数列的 通项公式求 １ ａｎ ꎬ进而求 ａｎꎻ 若 ｐ≠ｒꎬ则采用(３)的方法来求 １ ａｎ ꎬ进而求 ａｎ . (５)形如 ａｎ＋２ ＝ ｐａｎ＋１＋ｑａｎ(ｐ＋ｑ＝ １)ꎬ常用构造等比数列法. 将 ａｎ＋２ ＝ ｐａｎ＋１ ＋ｑａｎ 变形为 ａｎ＋２ －ａｎ＋１ ＝ (－ｑ)􀅰(ａｎ＋１ －ａｎ)ꎬ则 {ａｎ－ａｎ－１}(ｎ≥２ꎬｎ∈Ｎ∗)是等比数列ꎬ且公比为－ｑꎬ可以求得 ａｎ －ａｎ－１ ＝ ｆ(ｎ)(ｎ≥２ꎬｎ∈Ｎ∗)ꎬ然后用累加法求 ａｎ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ９２ 一、利用 ａｎ 与 Ｓｎ 的关系求通项 　 　 由 Ｓｎ 求 ａｎ 时ꎬ要分 ｎ ＝ １ 和 ｎ≥２ 两种情况讨论ꎬ然后验证 两种情况可否用统一的式子表示ꎬ若不能ꎬ则分段表示为 ａｎ ＝ Ｓ１ 　 　 　 (ｎ＝ １)ꎬ Ｓｎ－Ｓｎ－１ (ｎ≥２) .{ (２０１９ 天津耀华中学第二次月考ꎬ１１)设数列{ａｎ}的前 ｎ 项和为 Ｓｎꎬ若 Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋ｎ(ｎ∈Ｎ∗)ꎬ则数列{ａｎ}的通项公式为 ａｎ ＝ 　 　 　 　 . 解析　 ∵ Ｓｎ ＝ ２ａｎ＋ｎ(ｎ∈Ｎ∗)ꎬ ∴ 当 ｎ≥２ 时ꎬＳｎ－１ ＝ ２ａｎ－１＋ｎ－１ꎬ 两式相减可得 ａｎ ＝ ２ａｎ－１－１ꎬ 变形可得 ａｎ－１＝ ２(ａｎ－１－１)ꎬ ∵ ａ１ ＝ ２ａ１＋１ꎬ∴ ａ１ ＝－１ꎬ ∴ 数列{ａｎ－１}是首项为－２ꎬ公比为 ２ 的等比数列ꎬ ∴ ａｎ－１＝－２􀅰２ｎ －１ ＝－２ｎꎬ 则 ａｎ ＝ １－２ｎ . 答案　 １－２ｎ 　 　 １－１　 已知数列{ａｎ}的前 ｎ 项和 Ｓｎ ＝ｎ２－９ｎꎬ第 ｋ 项满足 ５< ａｋ<８ꎬ则 ｋ 等于 (　 　 ) Ａ.９ Ｂ.８ Ｃ.７ Ｄ.６ １－１ 答案　 Ｂ 解析　 ａｎ ＝ Ｓ１ 　 　 　 (ｎ＝ １)ꎬ Ｓｎ－Ｓｎ－１ (ｎ≥２){ ⇒ａｎ ＝ －８　 　 　 (ｎ＝ １)ꎬ －１０＋２ｎ (ｎ≥２){ ⇒ａｎ ＝ ２ｎ－１０(ｎ∈Ｎ ∗) . ∵ ５<ａｋ<８ꎬ∴ ５<２ｋ－１０<８ꎬ∴ １５ ２ <ｋ<９. 又∵ ｋ∈Ｎ∗ꎬ∴ ｋ＝ ８ꎬ故选 Ｂ. 　 　 １－２　 若数列{ａｎ}的前 ｎ 项和 Ｓｎ ＝ ２ ３ ａｎ＋ １ ３ ꎬ则{ａｎ}的通项 公式是 ａｎ ＝ 　 　 　 　 . １－２ 答案　 (－２) ｎ－１ 解析　 当 ｎ≥２ 时ꎬＳｎ－１ ＝ ２ ３ ａｎ－１ ＋ １ ３ ꎬ∴ 当 ｎ≥２ 时ꎬａｎ ＝ －２ａｎ－１ꎬ又 ｎ＝ １ 时ꎬＳ１ ＝ａ１ ＝ ２ ３ ａ１＋ １ ３ ꎬ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５２　　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版(教师用书) ∴ ａ１ ＝ １ꎬ ∴ ａｎ ＝(－２) ｎ －１ . 􀪋 二、利用