2020版数学高分突破大一轮天津专用（课件+PDF教师用书）：第五章 平面向量 (共4份打包)

第五章　 平面向量 ４５　　　 第五章 平面向量 § ５.１　 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 对应学生用书起始页码 Ｐ８２ 考点一 平面向量的线性运算及几何意义 　 　 １.平面向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 (１)交换律:ａ＋ｂ＝ｂ＋ａꎻ (２)结合律: (ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ) 减法 求 ａ 与 ｂ 的 相 反 向 量 －ｂ 的 和 的 运算 三角形法则 ａ－ｂ＝ａ＋(－ｂ) 数乘 求 实 数 λ 与向量 ａ 的 积的运算 (１) ｜λａ ｜ ＝ ｜λ ｜ ｜ ａ ｜ . (２)当 λ>０ 时ꎬλａ 与 ａ 的方向相同ꎻ 当 λ<０ 时ꎬλａ 与 ａ 的 方向相反ꎻ 当 λ＝０时ꎬλａ＝０ (１)结合律 λ(μａ)＝ (λμ)ａꎻ (２)分配律 (λ＋μ)ａ＝λａ＋μａꎻ λ(ａ＋ｂ)＝ λａ＋λｂ 　 　 ２.平面向量共线定理 向量 ａ(ａ≠０)与向量 ｂ 共线ꎬ当且仅当有唯一一个实数 λꎬ 使 ｂ＝λａ. 考点二 平面向量基本定理及向量的坐标 运算 　 　 １.平面向量基本定理 如果 ｅ１ꎬｅ２ 是同一平面内的两个不共线向量ꎬ那么对于这一 平面内的任意向量 ａꎬ有且只有一对实数 λ１ꎬλ２ꎬ使ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２ . 我们把不共线的向量 ｅ１、ｅ２ 叫做表示这个平面内所有向量的一 组基底. 零向量和共线向量不能作基底. ２.平面向量的坐标运算 (１)向量的坐标表示 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减 去始点的坐标ꎬ即若 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ＡＢ →＝(ｘ２－ｘ１ꎬｙ２－ｙ１). (２)平面向量共线的坐标表示.若 ａ ＝ ( ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ ＝ ( ｘ２ꎬｙ２)ꎬ ｂ≠０ꎬ则 ａ 与 ｂ 共线⇔ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ ０. 需注意的几点: ①若 ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则 ａ∥ｂ 的充要条件不能表示 成 ｘ１ ｘ２ ＝ ｙ１ ｙ２ .因为 ｘ２ꎬｙ２ 有可能等于 ０ꎬ所以应表示为 ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ ０. 同时ꎬａ∥ｂ 的充要条件也不能错记为 ｘ１ｘ２ －ｙ１ｙ２ ＝ ０ꎬｘ１ｙ１ －ｘ２ｙ２ ＝ ０ 等. ②若 ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则 ａ∥ｂ 的充要条件是 ａ ＝λｂ (ｂ≠０)ꎬ这与 ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ ０ 在本质上是没有差异的ꎬ只是形式上 不同. (３)向量的坐标运算 ①若 ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则 ａ±ｂ＝(ｘ１±ｘ２ꎬｙ１±ｙ２)ꎻ ②若 ａ＝(ｘꎬｙ)ꎬλ∈Ｒꎬ则 λａ＝(λｘꎬλｙ) . (４)单位向量 模为 １ 个单位长度的向量叫做单位向量ꎬ常用 ｅ 表示ꎬ其他 的表示方法:ｉꎬ ｊꎬｋꎬ ａ ｜ ａ ｜ ꎬ ｘ ｘ２＋ｙ２ ꎬ ｙ ｘ２＋ｙ２ æ è ç ö ø ÷ ꎬ(ｃｏｓ θꎬｓｉｎ θ)等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ８２ 一、平面向量的线性运算 　 　 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功ꎬ 除利用向量的加法、减法、数乘运算外ꎬ还应充分利用平面几何 的一些定理ꎬ因此ꎬ在求向量时要尽可能地转化到平行四边形或 三角形中ꎬ利用三角形中位线平行于第三边ꎬ且等于第三边的一 半ꎬ相似三角形对应边成比例等平面几何的性质ꎬ把未知向量转 化为与已知有直接关系的向量进行求解. (２０１８ 天津和平一模理)如图ꎬ在直角梯形 ＡＢＣＤ 中ꎬ ＡＢ∥ＤＣꎬＡＤ⊥ＤＣꎬＡＤ＝ＤＣ ＝ ２ＡＢꎬＥ 为 ＡＤ 的中点ꎬ若ＣＡ→ ＝λ ＣＥ→＋ μ ＤＢ→(λꎬμ∈Ｒ)ꎬ则 λ＋μ 的值为 (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４６　　　 ５年高考 ３年模拟 Ｂ版(教师用书) Ａ. ６ ５ Ｂ. ８ ５ Ｃ.２ Ｄ. ８ ３ 解析　 建立如图所示的平面直角坐标系ꎬ则 Ｄ(０ꎬ０) . 不妨设 ＡＢ＝ １ꎬ则 ＣＤ＝ＡＤ＝ ２ꎬ ∴ Ｃ(２ꎬ０)ꎬＡ(０ꎬ２)ꎬＢ(１ꎬ２)ꎬＥ(０ꎬ１)ꎬ ∴ ＣＡ→＝(－２ꎬ２)ꎬＣＥ→＝(－２ꎬ１)ꎬＤＢ→＝(１ꎬ２)ꎬ ∵ ＣＡ→＝λ ＣＥ→＋μ ＤＢ→ꎬ∴ (－２ꎬ２)＝ λ(－２ꎬ１)＋μ(１ꎬ２)ꎬ ∴ －２λ＋μ＝－２ꎬ λ＋２μ＝ ２ꎬ{ 解得 λ＝ ６ ５ ꎬμ＝ ２ ５ ꎬ则 λ＋μ＝ ８ ５ .故选 Ｂ. 答案　 Ｂ 　 　 １－１　 (２０１７ 天津河东模拟)下列四式不能化简为ＡＤ→的是 (　 　 ) Ａ.ＭＢ→＋ＡＤ→－ＢＭ→ Ｂ.(ＡＤ→＋ＭＢ→)＋(ＢＣ→＋ＣＭ→) Ｃ.(ＡＢ→＋Ｃ