一个三角形全等模型的构建与解题运用

一个三角形全等模型的构建与解题运用 山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平 模型题构建： （2018•衢州）如图1，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）． 模型特点分析： 模型的最大特点是两个三角形的第三边在同一条直线上，两个要全等的三角形在这条公共直线的两旁，且两边有重合的公共线段，解题时，常用到等量加等量和相等或等量减等量差相等，构造新等量，为解题补充缺少的条件． 模型中最经常遇到的助手条件是平行线. 解：因为BF=CE，所以BF+FC=CE+FC，即BC=EF，因为AB∥DE，所以∠B=∠E， 根据SAS原理，可以添加的条件是 AB=ED； 根据ASA原理，可以添加的条件是∠ACB=∠DFE； 根据AAS原理，可以添加的条件是∠A=∠D. 所以答案不唯一，添加AB=ED或∠ACB=∠DFE或∠A=∠D． 仔细观察图形，再次熟悉一下模型的结构特点，接下来，我们一起走进模型应用专场. 二、模型运用 1.证明线段互相平分 例1 （2018•恩施州）如图2，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分． 分析：符合模型条件的两个三角形是△ABC和△DEF，它们的全等可提供条件：AC=DF， 依据AC∥DF，即可得△AOC≌△DOF，进而得到OA=OD,OF=OC,OB=OE,从而实现AD与BE互相平分． 证明：如图2，因为FB=CE，所以FB+FC=CE+FC即BC=EF，因为AB∥ED，AC∥FD， 所以∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中， ， 所以△ABC≌△DEF（ASA），所以AC=DF，因为AC∥DF，所以∠OAC=∠ODF，∠OCA=∠OFD， 在△AOC和△DOF中， ，所以△AOC≌△DOF（ASA），所以OA=OD,OF=OC， 因为FB=CE，所以因为FB+OF=CE+OE即OB=OE,所以AD与BE互相平分． 点评：互相平分就是指线段的中点是重合的 . 2.证明线段互相平行 例2．（2018•铜仁市）已知：如图3，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：A