一道猜想型问题的解法探析

一道猜想型问题的解法探析 山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平 一题多解不仅展示深厚的数学功底，更折射出你独到的数学潜能，下面就举例说明，从中体会数学的无穷魅力. 题目： 已知，如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB. 试问：AC+CD与AB相等吗？说明理由. 分析：既然是猜想，我们就必须掌握一种猜想的解题思路----度量猜想法: 1、先用刻度尺度量AC的长度； 2、用刻度尺度量CD的长度； 3、用刻度尺度量AB的长度； 4、计算AC+CD； 5、比较AB与计算和，在近似的范围内作出猜想.猜想必须要得到证明，才能完成问题的最终解决. 解法直播： 解：AC+CD与AB相等. 1：构造距离法 要领：过角平分线上的点，作出另一边上的距离. 证明：如图2，过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为AD平分∠CAB，DC⊥AC，所以DC=DE. 在△ADC和△ADE中， 因为 ,所以△ADC≌△ADE，所以AC=AE. 因为AC=BC，∠ACB=90°，所以∠B=45°，因为∠DEB=90°，所以∠EDB=45°， 所以∠B=∠EDB，所以DE=EB=DC. 所以AC+CD=AE+EB=AB. 2：展短为直法 要领：延长较长线段，使得延长新线段等于已知较短的线段. 证明：延长AC到E，使得CE=CD，如图3. 因为AC=BC，∠ACB=90°，所以∠B=45°. 因为CE=CD，∠DCE=90°，所以∠E=45°， 所以∠B=∠E. 因为AD平分∠CAB，∠EAD=∠BAD. 在△ADE和△ADB中， 因为 ,所以△ADE≌△ADB，所以AB=AE. 因为AE=AC+CE=AC+CD，所以AC+CD=AB. 3：长截长法 要领：在和线段上，截取有公共端点的较长加数线段. 证明：在线段AB上截取AE,使得AE=AC，如图4. 因为AD平分∠CAB，∠EAD=∠BAD. 在△ADE和△ADC中， 因为 ,所以△ADE≌△ADC，所以CD=DE, ∠ACD=∠AED=90°， 因为AC=BC，∠ACB=90°，所以∠B=45°. 因为∠AED=90°，所以∠EDB=45°， 所以∠B=∠EDB，所以ED=EB，所以EB=CD. 所以AB=AE+EB=AC+CD. 4：展长为直法 要领：延长较短的线段，使得新线