结论是a=b c型问题的解法探析

结论是a=b+c型问题的解法探析 山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平 条件不同，结论却是惊人的相似，都是a=b+c型， 下面就一起探讨一下这类问题的求解思路和解题方法，供学习时借鉴. 1.含2倍角三角形中证明结论 例1 如图1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC. 图 1 分析：延长AB到点E，使得BE=BD，只需证明 △ADE≌△ADC，结论得证. 证明： 延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE， 因为BE=BD， 所以∠ABC=2∠E. 因为∠ABC=2∠C， 所以∠C=∠E. 所以 ， 所以△ADE≌△ADC， 所以AC=AE. 因为AE=AB+BE， 所以AB+BD=AC. 点评：延长较长的线段，使得延长线段等于较短的线段，从而把折线段的和转化为共线线段的和，设法证明构造的新线段与所求和线段相等即可.这是证明这类问题的一种常用方法要熟练掌握. 2.等腰三角形中证明结论 例2如图2，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB+CD. 图 2 分析：在BC上截取BE=AB,只需证明CE=CD即可. 证明： 在BC上取一点E，使得BE=AB，连接DE， 因为 ， 所以△ABD≌△EBD， 所以∠A=∠BED. 因为AB=AC，∠A=108° 所以∠BED=108°，∠DEC=72°，∠C=36°, 所以∠DEC=∠EDC， 所以CD=CE. 因为BC=BE+CE,BE=BA,CE=CD， 所以BC=AB+CD. 点评：在和线段上截一段线段等于线段和中的一条线段，设法证明差线段等于另一条线段.这是证明这类问题的一种常用方法要熟练掌握. 3.等腰直角三角形中证明结论 例3如图3，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB+AD. 图 3 分析：有前面两种方法作为基础，选择其中的一种细心求解即可. 证明： 延长AB到点E，使得AE=AD，连接DE， 因为AE=AD，AB=AC，∠A=90°, 所以∠C=∠E=45°. 所以 ， 所以△BDE≌△BDC， 所以BC=BE. 因为BE=AB+AE， 所以BC=AB+AD. 点评：遇到相近的问题，要分析条件，结合图形灵活选择方法，但是熟记常见的求解思路是解题的关键. 4.含6