专题1.2 因式分解-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

1.2 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等． 2.1公式法 在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式)； (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： ； 【例1】分解因式： (1) (2) 2.2提取公因式法与分组分解法 【例2】把 分解因式． 【例3】分解因式：（1） ；（2） ；（3） ． 变式：把 分解因式． 分析：先将系数2提出后，得到 ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 2.3 十字相乘法 2.3.1 形如 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此， ， 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例4】把下列各式因式分解： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） ； （4） ． 解：（1）如图1.1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如图2所示）． （2）由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图4，得 ＝ （4） ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 解题反思：(1) 把 看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数是 ，把 分解成 与 的积，而 ，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解二次三项式 ． 2.3.2 形如一般二次三项式 型的因式分解 我们知道， ． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法． 【例5】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法 【例6】把下列关于x的二次多项式分解因式： （1） ； （2） ． 练习：分解因式 说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法 【例7】分解因式 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决． 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将 拆成 ，将多项式分成两组 和 ． 变式：利用因式分解解方程 ，它的解为______________________ 1．多项式 中各项的公因式是__________． 2． _____． 3． _________________ 4．把下列各式分解因式： (1) (2) （3） （4） 5．把下列各式分解因式： (1) (3) (2) (3) (4) 6．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 7．把下列各式分解因式： (1) (2) （3） (4) 8．因式分解： ． 9. 因式分解： _________