专题1.5 充分条件和必要条件-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

1.5 充分条件和必要条件 1．命题 在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 【例1】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数 是素数，则 是奇数； （3）一次函数是增函数吗？ （4） ； （5）x>15． （6）画线段AB=CD． （7）一中的景色多美啊！ （8）这是一条大河． 【方法归纳】判断语句是否为命题的方法：（1）必须是陈述句，（2）可以判断真假． 中学数学中的许多命题可以写成“若 ，则 ”“如果狆 ，那么 ”等形式．其中 称为命题的条件， 称为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题． 【例2】 指出下列命题中的条件p和结论q： （1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）菱形的对角线互相垂直且平分． 【例3】把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判定真假． （1）负数的平方是正数． （2）偶函数的图像关于y轴对称． （3）垂直于同一条直线的两条直线平行 （4）面积相等的两个三角形全等． （5）对顶角相等． 变式1．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假． （1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行． 2．充分条件和必要条件 下面我们将进一步考察“若 ，则 ”形式的命题中 和 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条件和充要条件． 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ∥ ． 在命题 （1）（4）中，由条件 通过推理可以得出结论 ，所以它们是真命题． 在命题 （2）（3）中，由条件 不能得出结论 ，所以它们是假命题． 一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ．这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 ， 并且说， 是 的充分条件， 是 的必要条件． 如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，记作 ． 此时，我们就说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件． 上述命题 （1）（4）中的 是 的充分条件， 是 的必要条件，而命题（2）（3）中的 不是 的充分条件， 不是 的必要条件． 【例4】下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 ， 为无理数，则 为无理数． 【tips】举反例是判断一个命题是假命题的重要方法． 我们说 是 的充分条件，是指由条件 可以推出结论 ，但这并不意味着只能由这 个条件 才能推出结论 ．一般来说，对给定结论 ，使得 成立的条件 是不唯一的． 例如，我们知道，下列命题均为真命题： ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形． 所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的充分条件． 事实上，例4中命题 （1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理． 所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形．类似地，平行线的每一条判定定理都给出了 “两直线平行”的一个充分条件，例如 “内错角相等”这个条件就充分保证了 “两条直线平行”． 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 【例5】下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则 ， 为无理数． 一般地，要判断“若 ，则 ”形式的命题中 是否为 的必要条件，只需判断是否有 “ ”，即“若 ，则 ”是否为真命题． 我们说 是 的必要条件，是指以 为条件可以推