专题1.6 全称量词与存在量词-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

1.6 全称量词和存在量词 1．全称量词 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定． 观察下列命题： （1）所有正方形都是矩形； （2）每一个有理数都能写成分数的形式； （3）对于任意的正实数 ， 的值随 值的增大而增大； （4）空集是任何集合的子集； （5）一切三角形的内角和都等于 ． 以上命题中，“所有”“每一个”“任何”“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义． 在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫做全称量词命题． 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫做全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”． 例如，命题“对任意的 ， 是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题． 通常，将含有变量 的语句用 ， ， ，…表示，变量 的取值范围用 表示．那么，全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为 ， ． 【例1】判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） ， ； （3）对任意一个无理数 ， 也是无理数． 分析：要判定全称量词命题“ ， ”是真命题，需要对集合 中每个元素 ，证明 成立；如果在集合 中找到一个元素 ，使 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 【tips】判定一个命题是不是真命题的常用方法是“举反例”． 2．存在量词 有一些数学命题，是对个体或整体的一部分的判断，例如： （1）有些三角形是直角三角形； （2）在素数中，有一个是偶数； （3）存在实数 ，使得 ． 以上命题中，“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义． 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫做存在量词命题． 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫做存在量词，用符号“ ”表示，读作“存在” ． 例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题． 存在量词命题“存在 中的元素 ， 成立”可用符号简记为 ， ． 【例2】　判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数 ，使 ； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形． 分析：要判定存在量词命题 “ ， ”是真命题，只需在集合 中找到一个元素 ，使狆 成立即可；如果在集合 中，使 成立的元素 不存在，那么这个存在量词命题是假命题． 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 在数学的讨论中，有时要给出一个命题的否定，例如，在反证法的证明中要先假设命题的否定成立． 当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题． 对于全称量词命题“ ， ”，如何给出它的否定？ 要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数 ，使 不成立，即找到一个实数 ，使 ，也就是“ ，使 ”，它是一个存在量词命题． 又如，全称量词命题：“ ， ”．要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数 ，使 不成立，即“ ，使 ”，它也是一个存在量词命题． 以上的存在量词命题是对原全称命题加以否定得到的． 一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立． 具体做法是，我们只需把 “所有的”“任意一个”等全称量词，变成 “并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“ ， ”，则它的否定为 “并非 ， ”，也就是“ ， 不成立”．通常，用符号“ ”表示“ 不成立”． 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题： ， 它的否定： ， 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 【例3】写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意 ， 的个位数字不等于3． 【tips】一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 如何写出下列存在量词命题的否定？ （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3） ， ． 它们与原命题在形式上有什么变化？ 这三个命题都是存在量词命题，即具有 “ ， ”的形式． 其中命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每