专题2.1 不等式的性质及一元一次不等式（组）的解法-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.1 不等式的性质与一元一次不等式的解法 1．生活中的不等关系 现实生活和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。在数学中，我们常用不等式来表示这些不等关系： （1）交通部门规定，机动车辆在有些道路上行驶时，时速不能超过40千米，写成不等式为__________； （2）设点A与平面a的距离为d，B为平面内任意一点，则写成不等式为__________________； （3）要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，且规定600mm的数量不能超过500mm的3倍，写成不等式为______________________； 2．不等式的性质 为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质进行了解： 关于实数a，b大小的比较，有以下事实： 如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么 ． 反过来也对．用符号表示为： 可以证明：不等式具有以下性质： 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 性质5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2) 同正 性质8 可开方性 a>b>0⇒(n∈N*，n≥2)> ※ 典型例题 考点1．用不等式(组)表示不等关系 【例1】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式组． 变式1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 考点2．比较两数(式)的大小 【例2 】已知 ， ，求证： . 点评：方法一用作差法，关键是因式分解和符号判定．方法二用作商法是因为两个式子的符号均为正，用起来也很方便，关键是作商后分子部分的配方和符号判定． 变式1．已知a>b>0，m>0，试比较 与 的大小 从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵 变式2．已知正数a、b、c成等比数列，比较a2－b2＋c2与(a－b＋c)2的大小． 变式3．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 考点3．不等式性质的应用 【例3】已知 求证 . 变式1．判断下列说法的对错： (1)且c>0⇒a>b； (2)若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；< (3)a>b>0且c>d>0⇒⇒a>b.>； (4)> 考点4．利用不等式的性质求取值范围 【例4】已知12<a<60,15<b<36，求：a－b，的取值范围． 分析：欲求a－b的取值范围，应先求－b的取值范围；欲求的取值范围．的取值范围，应先求 解析：∵15<b<36 ∴－36<－b<－15 ∴12－36<a－b<60－15 ∴－24<a－b<45 又<4.< ∴<< ∴<< 点评：求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． 变式1．已知 ， ，求 ， ， 的取值范围 变式2．已知 ，求 的取值范围. 变式3．若二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的范围． ※ 当堂检测 1．下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2>0 B．lg(a2＋1)>0 C.>0 D．3a>0 2．若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于(　　) A．－或x> D．x<－或x> C．x<－<x< B．－<x<0或0<x< 3．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　) A．a2<b2 B．ab2<a2b C.< D.< 4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________． 5．对于实数a、b、c，判断下列命题的真假． (1)若a>b，则ac<bc； (2)若ac2>bc2，则a>b； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则|a