专题2.3 分式方程与无理方程的解法-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.3 分式方程与无理方程的解法 回顾过去 在初中，我们学过一元一次方程和一元二次方程的解法，本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用“去分母”或“换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用“平方”或“换元法”求根，并会验根． 1.分式方程的解法 1.1 去分母化分式方程为一元二次方程 【例1】解方程 ． 说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验． 变式1．方程 的解为__________ 1.2用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设 ，即得到一个关于 的一元二次方程． 【例3】解方程 ． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想． 2．可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 2.1．平方法解无理方程 【例4】解方程 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 【例5】解方程 说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明． 2.2．换元法解无理方程 【例6】解方程 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现： ．因此，可以设 ，这样就可将原方程先转化为关于 的一元二次方程处理． 说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想． 1．解下列方程： (1) (2) 2．解下列方程： (1) (2) (3) 3．解下列方程： (1) (2) 4．用换元法解下列方程： (1) (2) 5．用换元法解下列方程： (1) （2） (3) 6．解下列方程： (1) (2) (3) 7．若 是方程 的解，则 _______． 8．方程 的解为_____________ 9．方程 的根是______________________. 10．若关于x的分式方程的解为负数，求a的取值范围____________. 11．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2019资源大赛官网：http://www.zxxk.com/topic/2019/xkwzyds $$ 2.3 分式方程与无理方程的解法（解析版） 回顾过去 在初中，我们学过一元一次方程和一元二次方程的解法，本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用“去分母”或“换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用“平方”或“换元法”求根，并会验根． 1.分式方程的解法 1.1 去分母化分式方程为一元二次方程 【例1】解方程 ． 解：原方程可化为： 方程两边各项都乘以 得， 即 ， 整理得： ，解得： 或 ． 检验：把 代入 ，不等于0，所以 是原方程的解； 把 代入 ，等于0，所以 是增根． 所以，原方程的解是 ． 说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验． 变式1．方程 的解为_____ _____ 1.2用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设 ，即得到一个关于 的一元二次方程． 解：设 ，则原方程可化为： 解得 或 ． (1)当 时， ，去分母，得 ； (2)