专题2.4 二次函数的图象和性质-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.4 二次函数的图象和性质 回顾过去 1．二次函数的图象与解析式 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 【例1】（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 2．二次函数的最值 二次函数 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：当 时，函数在 处取得最小值 ，无最大值；当 时，函数在 处取得最大值 ，无最小值． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题． 【例2】当 时，求函数 的最大值和最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)． 分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 变式1：已知函数 ，则 的最小值是___________． 【例4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)． 变式1：已知函数 ，则 的最大值是___________． 1．抛物线 ，当 = _____ 时，图象的顶点在 轴上；当 = _____ 时，图象的顶点在 轴上；当 = _____ 时，图象过原点． 2．求二次函数 在 上的最大值和最小值，并求对应的 的值． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式． （1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)； （3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)，并与y轴交于(0，－2)．，0)和(1＋ 4．求函数 的最大值和最小值． 5．已知关于 的函数 ，当 取何值时， 的最小值为0？ 6．已知关于 的函数 在 上． (1) 当 时，求函数的最大值和最小值； (2) 当 为实数时，求函数的最大值． 7．函数 在 上的最大值为3，最小值为2，求 的取值范围． 8．设 ，当 时，函数 的最小值是 ，最大值是0，求 ． 9．已知函数 在 上的最大值为4，求 的值． 10．求关于 的二次函数 在 上的最大值( 为常数)． 2019资源大赛官网：http://www.zxxk.com/topic/2019/xkwzyds $$ 2.4 二次函数的图象和性质（解析版） 回顾过去 1．二次函数的图象与解析式 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 【例1】（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：（1）∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为 ， ∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴ ，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为 ，即y＝－2x2＋8x－7． （2）解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝ ． 所以，二次函数的表达式为y＝ ，或y＝－ ． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a