专题2.5 一元二次方程根与系数的关系-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.5 一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1．一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为： ． 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 【例2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 的两个根为： 所以： ， 韦达定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是 ． 【例3】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， ， ， ， ， 等等．韦达定理体现了整体思想． 练习1． 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求 的值；（3）x13＋x23． 【例4】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 【例5】关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根 满足 ． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 ． 【例6】若关于x的一元二次方程 的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 【例7】一元二次方程 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求 的取值范围。 【例8】 已知一元二次方程 一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。 1．一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若 是方程 的两个根，则 的值为( ) A． B． C． D． 3．若实数 ，且 满足 ， ，则代数式 的值为( ) A． B． C． D． 4．如果方程 的两根相等，则 之间的关系是______ 5．若方程 的两根之差为1，则 的值是 _____ ． 6．已知实数 、 满足 ，试求 、 的值． 7．已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值． 8．已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ． (1) 求 的取值范围； (2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请你说明理由． 9．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 2019资源大赛官网：http://www.zxxk.com/topic/2019/xkwzyds $$ 2.5 一元二次方程根与系数的关系（解析版） 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1．一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为： ． 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 解：(1) ，∴