专题2.6 一元二次不等式的解法-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.6 一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 ，其中 ， ， 均为常数， ． 2．一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 类比初中数学中用一次函数的图像求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集．以不等式 为例： （1）画出一元二次函数 的图象． （2）观察发现它与 轴交点的横坐标分别为 和 ， 即当 ， 时， （方程的根）． （3）进而，当 时，一元二次函数 的图象在 轴下方，满足 ． （4）即 的解集为 （一元二次不等式的解集）． 设 相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 ． 那么“ ”型的解为 (俗称两根之外)；“ ”型的解为 (俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 ，结合完全平方式为非负数的性质求解． 【例1】解下列不等式： (1) (2) (3) （4） 归纳小结：若 ， 是一元二次方程的两个根，且 ，则有： （1） （2） 或 变式1．解下列不等式 （1） （2） （3） （4） 变式2．解下列不等式 （1） ； （2） ． 变式3．不等式 的解是_____________． 变式4．若 ，则不等式 的解是_____________． 【例2】已知不等式 的解为 ，求 和 的值，并解不等式 ． 变式1．设一元二次不等式 的解为 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【例3】已知对于任意实数 ， 恒为正数，求实数 的取值范围． 练习1．已知对于任意实数 ， 恒为正数，求实数 的取值范围． 【例4】解关于 的不等式： ． 1．解下列不等式： （1） （2） （3） （4） 2．不等式 的解是____________． 3．不等式 的解是____________． 4．不等式 的解是_________________________． 5．若代数式 的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 ． 6．已知不等式 的解是 ，则 _________． 7．已知不等式 的解集是 ，则 ________． 8．不等式 的解集为 ，则 的解是________． 9．已知一元二次方程 ，求下列各条件下，实数 的取值范围． （1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根 10．解不等式 （1） （2） 2019资源大赛官网：http://www.zxxk.com/topic/2019/xkwzyds $$ 2.6 一元二次不等式的解法（解析版） 回顾过去 1．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 ，其中 ， ， 均为常数， ． 2．一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 类比初中数学中用一次函数的图像求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集．以不等式 为例： （1）画出一元二次函数 的图象． （2）观察发现它与 轴交点的横坐标分别为 和 ， 即当 ， 时， （方程的根）． （3）进而，当 时，一元二次函数 的图象在 轴下方，满足 ． （4）即 的解集为 （一元二次不等式的解集）． 设 相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的